Moment stopu

[wik a]

\(\displaystyle{ \left( X_{n}\right)^{10}_{n=1}}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie \(\displaystyle{ P\left( X_{n}=0\right)=P\left( X_{n}=1\right)= \frac{1}{2}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ p=\inf\left\{ n>1: X_{n} \le X_{n-1}\right\}}\) jest momentem stopu względem filtracji naturalnej dla \(\displaystyle{ \left( X_{n}\right)^{10}_{n=1}}\)
Pomoże ktoś? Jak się zabrać za takie zadanie? Dopiero zaczynam ten dział, czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to rozwiązać?

[leg14]

a jaki warunek musi spełniać moment stopu?

[wik a]

\(\displaystyle{ \left\{ p \le t \right\} \in F_{t}}\)

[leg14]

ok no ale w przypadku dyskretnym (z którym masz do czynienia) to jest równoważne prostszemu warunkowi, a mianowicie:
\(\displaystyle{ \left\{ p = t \right\} \in F_{t}}\)

proponuję iść w tę stronę

[wik a]

To od czego powinnam zacząć?
\(\displaystyle{ \left\{ \inf\left\{ n>1: X_{n} \le X_{n-1}\right\} = n\right\}}\) ? To trzeba rozpisać? Kompletnie nie wiem jak to pokazać

[leg14]

\(\displaystyle{ \left\{ \inf\left\{ n>1: X_{n} > X_{n-1}\right\} = n\right\}}\)

jeden n nie ma z drugim nic wspólnego dlatego powinnaś napisać :
\(\displaystyle{ \left\{ \inf\left\{ n>1: X_{n} > X_{n-1}\right\} = k\right\}}\)

Zrobmy przykład dla \(\displaystyle{ k = 10}\):
jeśli \(\displaystyle{ \inf\left\{ n>1: X_{n} > X_{n-1}\right\} = 10}\)
to zachodzi \(\displaystyle{ X_5 > X_4}\) czy \(\displaystyle{ X_5 \le X_4}\)

[wik a]

Tam ma być jednak nierówność \(\displaystyle{ \le}\). Poprawiłam w poleceniu.
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \left\{ \inf\left\{ n>1: X_{n} \le X_{n-1}\right\} = k\right\}}\)
Gdy \(\displaystyle{ k=10}\)
\(\displaystyle{ \inf\left\{ n>1: X_{n} \le X_{n-1}\right\} =10}\)
Ale co mam z tym zrobić?

[leg14]

Wiesz, że dla danego \(\displaystyle{ w}\) zachodzi
( k = 10)
\(\displaystyle{ \inf\left\{ n>1: X_{n}(w) \le X_{n-1}(w)\right\} = 10}\)

Wówczas zachodzi:
a) \(\displaystyle{ X_5(w) > X_4(w)}\)
czy
b) \(\displaystyle{ X_5(w) \le X_4(w)}\)

[wik a]

Według mnie b)

[leg14]

a wiesz co to znaczy infimum?

[wik a]

Tak, największe ograniczenie dolne

[leg14]

no to zastanów się jeszcze raz nad odpowiedzią na moje pytanie

[wik a]

Czyli indeksem dla którego warunek w infimum jest spełniony jest 10 więc ta nierówność dla mniejszych będzie niespełniona i w tym przypadku zachodzi a)? Nie wiem czy to dobrze rozumiem

[leg14]

tak, no i to jest całe zadanie
zdarzenie \(\displaystyle{ p = k}\) możesz zapisać jako zdarzenie
\(\displaystyle{ X_2 > X_1 \wedge X_3 > X_2 \wedge ... X_{k-1} > X_{k-2} \wedge X_k \le X_{k-1}}\)

[wik a]

Trochę nie rozumiem tego, że to jest koniec zadania. To jak powinno to być poprawie zapisane i po co mi były te informacje z prawdopodobieństwem?