Wartość oczekiwana zmiennej losowej.
: 15 gru 2018, o 11:53
Określam sobie taką zmienną losową :
\(\displaystyle{ Y=\begin{cases} X^2 &\text{dla } X > \frac{1}{2} \\ 3 &\text{dla } X \le \frac{1}{2} \end{cases}}\). Gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-1,1]}\).
Wiadomo jaka jest gęstość \(\displaystyle{ X}\). Zatem piszę :
\(\displaystyle{ E(Y)=E\left( X^2 \cdot 1_{\left\{ X > \frac{1}{2}\right\} }+ 3 \cdot 1_{\left\{ X \le \frac{1}{2}\right\} }\right)}\). Oczywiście z liniowości mogę rozdzielić na dwie sumy. Uwzględniając gęstość i funkcje charakterystyczne mam sumę następujących całek:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{2} }^{1}x^2\cdot \frac{1}{2}dx + \int_{-1}^{ \frac{1}{2} } \frac{3}{2} dx}\).
Trochę się zastanawiam nad tą stałą. Przecież wartość oczekiwana ze stałej to właśnie ta stała. Ale z drugiej strony mogę traktować to jako funkcję mierzalną.
\(\displaystyle{ Y=\begin{cases} X^2 &\text{dla } X > \frac{1}{2} \\ 3 &\text{dla } X \le \frac{1}{2} \end{cases}}\). Gdzie \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [-1,1]}\).
Wiadomo jaka jest gęstość \(\displaystyle{ X}\). Zatem piszę :
\(\displaystyle{ E(Y)=E\left( X^2 \cdot 1_{\left\{ X > \frac{1}{2}\right\} }+ 3 \cdot 1_{\left\{ X \le \frac{1}{2}\right\} }\right)}\). Oczywiście z liniowości mogę rozdzielić na dwie sumy. Uwzględniając gęstość i funkcje charakterystyczne mam sumę następujących całek:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{1}{2} }^{1}x^2\cdot \frac{1}{2}dx + \int_{-1}^{ \frac{1}{2} } \frac{3}{2} dx}\).
Trochę się zastanawiam nad tą stałą. Przecież wartość oczekiwana ze stałej to właśnie ta stała. Ale z drugiej strony mogę traktować to jako funkcję mierzalną.