Prawdopodobieństwo na przedziale

[Sansi]

Rzucamy 600 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ilość wyrzuconych jedynek zawierać się będzie w przedziale (0;110)?

Proszę o pomoc nie wiem zupełnie jak zabrać się za takie zadanie i nie udało mi się znaleźć niczego podobnego. Możliwe, że źle to nazywam i stąd problem ze znalezieniem zbliżonych zadań :/

[Premislav]

Liczba (nie ilość) wyrzuconych jedynek jest tu zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ p=\frac 1 6, \ n=600}\) (sześćset rzutów, prawdopodobieństwo wypadnięcia jedynki w pojedynczym rzucie to \(\displaystyle{ \frac 1 6)}\).
Zastosuj twierdzenie de Moivre'a-Laplace'a.

[Sansi]

Czy tak powinnam to zrobić?
\(\displaystyle{ 0 < \frac{ S_{n}-n \cdot p }{ \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} } < 110}\)

Jeśli tak to dochodzę do momentu, gdzie mam:

\(\displaystyle{ 0 < \frac{S_{n} - 100 }{9,12} < 110}\)

I nie mam pojęcia co mogłabym zrobić dalej :/

[Premislav]

No niestety źle. To powinno wyglądać z grubsza tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 0< S_n<110 \right) =\mathbf{P}\left( -np <S_n<110-np\right) =\\=\mathbf{P}\left( -\frac{np}{\sqrt(np(1-p)}}<\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}<\frac{110-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=\\=\mathbf{P}\left( \frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}<\frac{110-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\mathbf{P}\left( \frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le -\frac{np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)}\)
i teraz wstawiasz \(\displaystyle{ n=600, \ p=\frac 1 6}\) i korzystając z tw. de Moivre'a-Laplace'a przybliżasz to prawdopodobieństwo za pomocą
\(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{110-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) -\Phi\left( -\frac{np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego (poszukaj w necie tablic standardowego rozkładu normalnego). W celu poprawienia dokładności obliczeń możesz skorzystać na początku jeszcze z tego:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_correction

aczkolwiek wątpię, by było to wymagane.

-- 14 gru 2018, o 15:58 --

Jestem przekonany, że o to chodziło w zadaniu, natomiast trzeba pamiętać, że to jest wynik przybliżony, dokładna postać to
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{109}{600\choose k}\left( \frac 1 6\right)^k\left( \frac 5 6\right)^{600-k}}\)
i tego się nie da zwinąć, można j.w. przybliżyć rozkładem normalnym, można policzyć sobie numerycznie.