Dystrybuanta zmiennej losowej.

[pawlo392]

Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na [0,4]. Szukamy dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ Y=\min \left( 2,X \right)}\).
Zatem : \(\displaystyle{ P \left( Y \le t \right) =P \left( \min \left( 2,X \right) \le t \right) =P \left( 2 \le t \vee X \le t \right) .}\)
Mamy zatem prawdopodobienstwo sumy zdażeń i możemy skorzystać ze wzoru włączeń i wyłączeń.
\(\displaystyle{ P \left( 2 \le t \vee X \le t \right) =P \left( 2 \le t \right) +P \left( X \le t \right) -P \left( 2 \le t \cap X \le t \right)}\).
Ustalmy teraz wartość \(\displaystyle{ t}\).
Dla\(\displaystyle{ t in left[ 0,2
ight)}\) zostaje tylko drugi składnik, czyli \(\displaystyle{ P \left( X \le t \right) = \frac{t}{2}}\).
Dla\(\displaystyle{ t \in \left[ 2,4 \right]}\) mamy \(\displaystyle{ 1+ \frac{t-2}{2} - \frac{t-2}{2}}\).
Należy teraz policzyć

\(\displaystyle{ P \left( Y \in \left( \frac{1}{2},2 \right) =P \left( \frac{1}{2} <\min \left( 2,X \right) <2 \right)=}\)\(\displaystyle{ =P \left( \frac{1}{2}<\min \left( 2,X \right) \right) P \left( \min \left( 2,X \right) <2 \right) = \left( 1-P \left( \min \left( 2,X \right) < \frac{1}{2} \right) \right) P \left( \min \left( 2,X \right) <2 \right)}\).
Wystarczy teraz podstawiać odpowiednie wartości do dystrybuanty.
Proszę o weryfikacje, bo tak średnio podoba mi się ta dystrybuanta .

[Premislav]

Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le t)=\frac t 2}\) Przecież napisałeś, że \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,4]}\), a nie \(\displaystyle{ [0,2]}\).

Ja tak to widzę:
niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{U}[0,4]}\), wtenczas
\(\displaystyle{ mathbf{P}(min(2, X)le t)=1-mathbf{P}(min(2, X)>t)=\=1-mathbf{P}(2>t, X>t)=1- 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty,2)}(t)cdot mathbf{P}(X>t)=\=1-1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, 2)}(t)left( 1-mathbf{P}(Xle t)
ight)=\= egin{cases}1-1cdot (1-0) ext{ gdy }t < 0 \1-1cdot left( 1-frac t 4
ight) ext{ gdy } tin [0,2) \1-0 ext{ gdy }tge 2 end{cases}}\)
Mamy więc atom \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=2)=\frac 1 2}\) i nic dziwnego, gdyż
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=2)=\mathbf{P}(\min(2, X)=2)=\mathbf{P}(X\ge 2)=\frac 1 2}\)

[pawlo392]

Ok, rzeczywiście. Myślałem, że skoro ograniczam ten odcinek do \(\displaystyle{ [0,2]}\) to na tym odcinku rozważam rozkład jednostajny \(\displaystyle{ X}\).