Prosta wartość oczekiwana.

[pawlo392]

1.Niech \(\displaystyle{ X}\)oznacza liczbę reszek w trzech rzutach monetą, a \(\displaystyle{ Y}\)liczbę orłów w trzech rzutach monetą.
Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=XY}\).
Otóż wiemy, że \(\displaystyle{ Y= \left( 3-X \right)}\), zatem \(\displaystyle{ Z=X \left( 3-X \right)}\) dla \(\displaystyle{ X \in \left\{ 0,1,2,3\right\}}\).
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ Z=0,2}\). Przypadek z zerem pomijamy bo mamy przypadek dyskretny więc się wyzeruje.
\(\displaystyle{ Z=2}\) dla \(\displaystyle{ X=1 \vee X=2}\).
Co oznacza, że interesują nas zdarzenia jedna reszka, dwa orły oraz dwie reszki, jeden orzeł.
Zatem : \(\displaystyle{ E \left( Z \right) =2 \cdot \left( \frac{3}{8}+ \frac{3}{8} \right)}\).
Z kolei \(\displaystyle{ E \left( Z^2 \right) =4 \cdot \left( \frac{3}{8}+ \frac{3}{8} \right)}\).
Proszę o weryfikację.

2. Rzucamy kostką dwa razy. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza najmniejszy uzyskany wynik, natomiast \(\displaystyle{ Y}\) numer rzutu, w którym ten wynik uzyskaliśmy. Czy zmienne losowe są niezależne. Tutaj mam mały problem z interpretacją. Ok, \(\displaystyle{ X}\) może przyjmować wartości od 1 do 6, natomiast \(\displaystyle{ Y}\) 1 lub 2. Sadzę, że są zależne. \(\displaystyle{ P \left( X=3 \right) = \frac{7}{36}}\), gdyż mamy 7 przypadków kiedy to trójką jest najmniejszym wynikiem. \(\displaystyle{ P \left( Y=1 \right) = \frac{21}{36}}\), gdyż tyle mamy przypadków, że na pierwszym miejscu stoi liczba mniejsza. Natomiast \(\displaystyle{ P \left( X=3,Y=1 \right) = \frac{3}{36}}\). Widać, że nie są niezależne.
Niby zadania proste ale jednak wole być pewnym.