Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz niech \(\displaystyle{ Y=1 _{\left\{ X>1/2\right\} }}\). (1 oznacza fukcję charakterystyczną zbioru) Mam wyznaczyć rozkład oraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z:=XY}\).
No to liczę dystrybuantę :
\(\displaystyle{ P(Z \le t)=P(\left\{ XY \le t\right\} \cap \left\{ Y=0\right\})+P(\left\{ XY \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})=P(\left\{ 0 \le t\right\} \cap {Y=0})+P(\left\{ X \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})}\)
\(\displaystyle{ P(\left\{ 0 \le t\right\} \cap {Y=0})= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t<0 \\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ t \ge 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P(\left\{ X \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})=P(1/2<X \le t)= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t \le 1/2 \\ t-1/2 \ \hbox{gdy} \ 1/2 < t \le 1 \\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ t \ge 1 \end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ F _{Z}(t)= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t<0\\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ 0 \le t<1/2 \\ t \ \hbox{gdy} \ 1/2 \le t<1 \\ 1 \ \hbox{gdy} \ t \ge 1 \end{cases}}\).
Czy to jest dobrze policzone ? Dystrybuanta \(\displaystyle{ Z}\) jest nieciągła, ma skok w 0 równy \(\displaystyle{ 1/2}\), jak w takim przypadku policzyć wartość oczekiwaną ? Nie liczyłam nigdy wartości oczekiwanej z dystrybuanty, zawsze wyliczałam gęstość i z niej liczyłam, ale tu się tak nie da.
Nieciągła dystrybuanta a wartość oczekiwana
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Nieciągła dystrybuanta a wartość oczekiwana
Jesli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gestosc \(\displaystyle{ g}\), to dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ \EE f(X) = \int_{}^{} f(x)g(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \EE f(X) = \int_{}^{} f(x)g(x)dx}\)
- leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
Re: Nieciągła dystrybuanta a wartość oczekiwana
nie ma się. Podałem Ci przepisz na policzenie zadania bez użycia dystrybuanty
Może tak, ja Ci podałem sposób na rozwiązanie następującego problemu:
dana jest funkcja niemeirzalna \(\displaystyle{ f}\) i gęstość zmiennej losowej X - \(\displaystyle{ g(x)}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ \EE f(X)}\).
Jak ten problem ma się do Twojego problemu?
Może tak, ja Ci podałem sposób na rozwiązanie następującego problemu:
dana jest funkcja niemeirzalna \(\displaystyle{ f}\) i gęstość zmiennej losowej X - \(\displaystyle{ g(x)}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ \EE f(X)}\).
Jak ten problem ma się do Twojego problemu?
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 31 razy
Re: Nieciągła dystrybuanta a wartość oczekiwana
Czyli \(\displaystyle{ g(x)=1 _{[0,1]}(x)}\) to gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ f(x)=1 _{\left\{ X>1/2\right\} }(x)}\) ?
Wtedy \(\displaystyle{ E(Z)= \int 1 _{[0,1]}(x)1 _{\left\{ X>1/2\right\} }(x)dx=1/2}\) ?
Wtedy \(\displaystyle{ E(Z)= \int 1 _{[0,1]}(x)1 _{\left\{ X>1/2\right\} }(x)dx=1/2}\) ?