Nieciągła dystrybuanta a wartość oczekiwana

[Maslow]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz niech \(\displaystyle{ Y=1 _{\left\{ X>1/2\right\} }}\). (1 oznacza fukcję charakterystyczną zbioru) Mam wyznaczyć rozkład oraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z:=XY}\).

No to liczę dystrybuantę :
\(\displaystyle{ P(Z \le t)=P(\left\{ XY \le t\right\} \cap \left\{ Y=0\right\})+P(\left\{ XY \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})=P(\left\{ 0 \le t\right\} \cap {Y=0})+P(\left\{ X \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})}\)

\(\displaystyle{ P(\left\{ 0 \le t\right\} \cap {Y=0})= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t<0 \\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ t \ge 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P(\left\{ X \le t\right\} \cap \left\{ Y=1\right\})=P(1/2<X \le t)= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t \le 1/2 \\ t-1/2 \ \hbox{gdy} \ 1/2 < t \le 1 \\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ t \ge 1 \end{cases}}\)

Zatem \(\displaystyle{ F _{Z}(t)= \begin{cases} 0 \ \hbox{gdy} \ t<0\\ 1/2 \ \hbox{gdy} \ 0 \le t<1/2 \\ t \ \hbox{gdy} \ 1/2 \le t<1 \\ 1 \ \hbox{gdy} \ t \ge 1 \end{cases}}\).

Czy to jest dobrze policzone ? Dystrybuanta \(\displaystyle{ Z}\) jest nieciągła, ma skok w 0 równy \(\displaystyle{ 1/2}\), jak w takim przypadku policzyć wartość oczekiwaną ? Nie liczyłam nigdy wartości oczekiwanej z dystrybuanty, zawsze wyliczałam gęstość i z niej liczyłam, ale tu się tak nie da.

[leg14]

Jesli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gestosc \(\displaystyle{ g}\), to dla dowolnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ \EE f(X) = \int_{}^{} f(x)g(x)dx}\)

[Maslow]

Nadal nie wiem co zrobić :/

[leg14]

Czego konkretnie nie rozumiesz z mojej wskazówki?

[Maslow]

Nie rozumiem jak to się ma do dystrybuanty

[leg14]

nie ma się. Podałem Ci przepisz na policzenie zadania bez użycia dystrybuanty
Może tak, ja Ci podałem sposób na rozwiązanie następującego problemu:
dana jest funkcja niemeirzalna \(\displaystyle{ f}\) i gęstość zmiennej losowej X - \(\displaystyle{ g(x)}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ \EE f(X)}\).

Jak ten problem ma się do Twojego problemu?

[Maslow]

Czyli \(\displaystyle{ g(x)=1 _{[0,1]}(x)}\) to gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ f(x)=1 _{\left\{ X>1/2\right\} }(x)}\) ?
Wtedy \(\displaystyle{ E(Z)= \int 1 _{[0,1]}(x)1 _{\left\{ X>1/2\right\} }(x)dx=1/2}\) ?

[leg14]

Nie.
Masz policzyć \(\displaystyle{ \EE X \cdot 1_{X>0.5}}\) a nie \(\displaystyle{ \EE 1_{X>0.5}}\)