Witam, mam problem z pewnym zadaniem.
X ma rozkład normalny \(\displaystyle{ (1,1)}\) i Y ma rozkład normalny \(\displaystyle{ (1,1)}\)
Oblicz \(\displaystyle{ P( 2X - 3Y < 1 )}\)
Wiem, że należy przeprowadzić standaryzacje tych rozkładów, ale nie rozumiem jak policzyć prawdopodobieństwo dwóch rozkładów.
Z góry dziękuje za pomoc!
Prawdopodobieństwo rozkładu normalnego X i Y
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Prawdopodobieństwo rozkładu normalnego X i Y
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}( m, \ \ \sigma^2), \ \ a\cdot X \sim \mathcal{N}(a\cdot m, \ \ a^2\cdot \sigma^2)}\)
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}( m_{X}, \ \ \sigma^2_{X}),\ \ Y\sim \mathcal{N}( m_{Y}, \ \ \sigma^2_{Y})}\)
\(\displaystyle{ X \pm\ Y \sim \mathcal{N} (m_{X}\pm m_{Y}, \ \ \sigma^2_{X} + \sigma^2_{Y}).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(1,1) , \ \ 2X \sim \mathcal{N}{2, 4)}\)
\(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{N}(1,1), \ \ 3Y \sim \mathcal{N}(3, 9)}\)
\(\displaystyle{ Z= 2X - 3Y = \mathcal{N}(-1, 13).}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ 2X-3Y < 1}\}) = Pr( \{Z < 1\}) = Pr\left( \frac{Z +1}{\sqrt{13}}< \frac{1 +1}{\sqrt{13}}\right) = Pr\left( U < \frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx \\ \approx \phi (0,5547) \approx 0,71.}\)
\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}( m_{X}, \ \ \sigma^2_{X}),\ \ Y\sim \mathcal{N}( m_{Y}, \ \ \sigma^2_{Y})}\)
\(\displaystyle{ X \pm\ Y \sim \mathcal{N} (m_{X}\pm m_{Y}, \ \ \sigma^2_{X} + \sigma^2_{Y}).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(1,1) , \ \ 2X \sim \mathcal{N}{2, 4)}\)
\(\displaystyle{ Y \sim \mathcal{N}(1,1), \ \ 3Y \sim \mathcal{N}(3, 9)}\)
\(\displaystyle{ Z= 2X - 3Y = \mathcal{N}(-1, 13).}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ 2X-3Y < 1}\}) = Pr( \{Z < 1\}) = Pr\left( \frac{Z +1}{\sqrt{13}}< \frac{1 +1}{\sqrt{13}}\right) = Pr\left( U < \frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx \\ \approx \phi (0,5547) \approx 0,71.}\)