Rozkład Poissona

[mintbuster]

Potrzebuję pomocy w zadaniu o treści:
Drużyna A strzela średnio dwa gole w meczu, a drużyna B jeden. Zakładając, że strzelenie gola przez daną drużynę w każdej minucie jest stałe oraz nie zależy od drużyny przeciwnej, ani straconych bramek, oblicz prawdopodobieństwo, że drużyna A nie przegra meczu.

Rozumiem, że trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wygrania meczu przez drużynę B, jednakże nie wiem jak zacząć.

[janusz47]

Dlaczego rozkład Poissona i dlaczego należy obliczyć prawdopodobieństwo wygrania meczu przez drużynę \(\displaystyle{ B?}\)

[mintbuster]

Domyślam się że powinien być rozkład Poissona, ponieważ jest stała częstotliwość strzelania bramek, chociaż mogę się mylić. Prawdopodobieństwo, że drużyna A nie przegra meczu jest równe 1 - P(B), gdzie P(B) to prawdopodobieństwo wygrania meczu przez drużynę B. To są tylko moje założenia, które mogą być nieprawidłowe.

[janusz47]

Zakładając, że rozkłady strzelania bramek przez drużynę A i B są rozkładami Poissona odpowiednio z parametrami \(\displaystyle{ \lambda_{A}=2, \ \ \lambda_{B} = 1.}\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) "drużyna A nie przegra meczu" jest kombinacją zdarzeń:

\(\displaystyle{ A = (A_{0} \cap B_{0}) \cup (A_{1} \cap B_{0} ) \cup (A_{1} \cap B_{1}) \cup (A_{2} \cap B_{0} ) \cup (A_{2} \cap B_{1}) \cup (A_{2} \cap B_{2})}\)

\(\displaystyle{ A_{i}}\) -zdarzenie drużyna A strzela w meczu \(\displaystyle{ i}\) -bramek \(\displaystyle{ i=0,1,2.}\)

\(\displaystyle{ B_{i}}\) -zdarzenie drużyna B strzela w meczu \(\displaystyle{ i}\) -bramek \(\displaystyle{ i=0,1,2.}\)

[mintbuster]

A nie powinno być na odwrót?
\(\displaystyle{ \lambda_{A}=1, \ \ \lambda_{B} =\frac{1}{2}}\)
Mam pytanie dlaczego nie bierze się pod uwagę zdarzeń takich jak np. \(\displaystyle{ (A_{3} \cap B_{2})}\) bądź \(\displaystyle{ (A_{7} \cap B_{5})}\) itp., wynika to z jakiegoś prawa? Z góry dziękuję

[janusz47]

Ogólnie jeśli zadanie odnosimy do dowolnej ilości strzelonych bramek w meczu, a nie tylko do \(\displaystyle{ 0,1,2}\), to należałoby obliczyć prawdopodobieństwo:


\(\displaystyle{ Pr(A) = Pr( \{ A_{k}\geq B_{l} \}),\ \ k, l =0,1,2,...}\)

[mintbuster]

A na powyższe prawdopodobieństwo jest jakiś wzór?

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr(\{A_{k}\geq B_{l}\})= Pr(\{A_{k}=k\} \cap \{{B_{l}< k\}).}\)

Uwzględniając, że zmienne losowe \(\displaystyle{ A, B}\) są niezależne:

\(\displaystyle{ Pr(A) = Pr(\{A_{k}\leq B_{l}\}) = \frac{\lambda^{k}_{A}}{k!}e^{-\lambda_{A}} e^{-\lambda_{B}}\sum_{l<k}\frac{\lambda_{B}^{l}}{l!} = \frac{\lambda^{k}_{A}}{k!}\sum_{l<k}\frac{\lambda^{l}_{B}}{l!}e^{-(\lambda_{A}+\lambda_{B})}.}\)

[mintbuster]

Jednakże, w jaki sposób można z powyższego wzoru otrzymać wynik jeżeli zmienna k oraz l dążą do nieskończoności po liczbach całkowitych?

[janusz47]

Tu nic nie dąży do nieskończoności "po liczbach całkowitych" sumujemy po wskaźnikach od zera mniejszych od \(\displaystyle{ k\in N.}\)
\(\displaystyle{ k}\) nie dąży do nieskończoności.

[mintbuster]

a dobrze rozumiem, że dla tego wzoru zaczyna się od k=1 oraz l=0 a następnie dodaje się do wyniku rezultat z k=2 i (l=0, l=1), następnie z k=3 i (l=0, l=1, l=2), następnie z k=4 i (l=0, l=1, l=2, l=3). W takim przypadku k będzie równe 1, 2, 3, 4 .. do nieskończoności.
Nie rozumiem zapisu

sumujemy po wskaźnikach od zera mniejszych od \(\displaystyle{ k\in N}\)

Czy w powyższym wzorze na pewno w dobrą stronę skierowane są operatory większości? Np. \(\displaystyle{ \{{B_{l}< k\}}\), \(\displaystyle{ \{l< k\}}\) oraz \(\displaystyle{ Pr(\{A_{k}\geq B_{l}\})}\), przypominam, że to drużyna B musi zdobyć więcej bramek.

[janusz47]

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)" drużyna \(\displaystyle{ A}\) nie przegra meczu" tzn. może zremisować czyli zdobyć taką samą ilość bramek co drużyna \(\displaystyle{ B}\) lub większą. Patrzymy na przykładową kombinację zdarzeń w czwartym poście od góry.

[mintbuster]

Ostatecznie, mój wynik wyszedł za pomocą wartości funkcji rozkładu prawdopodobieństwa Poissona, tj. liczę prawdopodobieństwo że drużyna B zdobędzie więcej bramek od drużyny A, np. 0:1, 0:2, 0:3, 0:4, 1:2, 1:3, itd. Następnie odejmuje od jedynki otrzymane prawdopodobieństwo i wychodzi wynik. Dziękuję bardzo za pomoc.