dowód niezależności dwóch zdarzeń

[Fijy]

Jeżeli zdarzenia A i B sa niezależne, udowodnij, że A' (zd. przeciwne do A) i B są również niezależne.

[wb]

\(\displaystyle{ p(B)=p(\Omega\cap B)=p((A\cup A')\cap B)=p((A\cap B)\cup (A'\cap B))= \\ =p(A\cap B)+p(A'\cap B)=p(A)\cdot p(B)+p(A'\cap B) \\ \\ p(B)=p(A)\cdot p(B)+p(A'\cap B) \\ p(B)-p(A)\cdot p(B)=p(A'\cap B) \\ p(B)(1-p(A'))=p(A'\cap B) \\ p(B)\cdot p(A')=p(A'\cap B)}\)

[Fijy]

ok, dzięki. a jak udowodnić, że A' i B' będą również niezależne? próbowalem, kombinowałem i nic

[wb]

\(\displaystyle{ p(A'\cap B')=p((A\cup B)')=1-p(A\cup B)=1-(p(A)+p(B)-p(A\cap B))= \\ =1-p(A)-p(B)+p(A)\cdot p(B)=(1-p(A))-p(B)(1-p(A))= \\ =(1-p(A))(1-p(B))=p(A')\cdot p(B')}\)