Prawdopodobieństwo uczestnictwa w konkursie

[beataa06]

W konkursie złożonym z trzech etapów startuje niezależnie 10 uczestników. Prawdopodobieństwo, że uczestnik odpadnie po pierwszym etapie jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Prawdopodobieństwo, że uczestnik który przeszedł etap pierwszy, odpadnie w etapie drugim jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że w trzecim etapie będzie chociaż jeden uczestnik.

[Premislav]

Wiemy, że \(\displaystyle{ B\subset A}\), dysponujemy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=\frac 1 3}\) (więc \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)=1-\mathbf{P}(A')=\ldots}\)) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B|A)}\), a chcemy obliczyć \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)}\) (\(\displaystyle{ A}\) – konkretny uczestnik przejdzie do drugiego etapu, \(\displaystyle{ B}\) – uczestnik przejdzie do trzeciego etapu). No to
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(A\cap B)=\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)=\frac 1 2\cdot \left( 1-\frac 1 3\right) =\frac 1 3}\).
Czyli konkretny zawodnik przechodzi do trzeciego etapu z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 1 3}\), a więc nie przechodzi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac 2 3}\), czyli z niezależności prawdopodobieństwo, że żaden nie przeszedł do trzeciego etapu to \(\displaystyle{ \left( \frac 2 3\right)^{10}}\) i prawdopodobieństwo, że któryś uczestnik przeszedł jest równe \(\displaystyle{ 1-\left( \frac 2 3\right)^{10}}\).