Obliczanie funkcji dystrybuanty
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Obliczanie funkcji dystrybuanty
Czy ktoś mógłby wytłumaczyć na czym polega to zadanie? Ciężko mi zrozumieć jak je rozwiązać,
a jeżeli ktoś mógłby poświęcić chwilę czasu na rozwiązanie go byłbym dozgonnie wdzięczny.
Dziękuję.
Niech \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z rozkładu o dystrybuancie \(\displaystyle{ F_{x}}\) .
Oblicz funkcje dystrybuanty dla
(a)\(\displaystyle{ Y = \max \{X_1, ..., X_n\}}\)
oraz
(b)\(\displaystyle{ Z = \min \{X_1, ..., X_n\}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) dla szczególnego przypadku, gdy
\(\displaystyle{ F_{x} = \begin{cases} 1-e^{- \alpha x} &\mbox{dla }x\ge 0 \\ 0 &\mbox{dla }x< 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest stałą większą od \(\displaystyle{ 0}\).
a jeżeli ktoś mógłby poświęcić chwilę czasu na rozwiązanie go byłbym dozgonnie wdzięczny.
Dziękuję.
Niech \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z rozkładu o dystrybuancie \(\displaystyle{ F_{x}}\) .
Oblicz funkcje dystrybuanty dla
(a)\(\displaystyle{ Y = \max \{X_1, ..., X_n\}}\)
oraz
(b)\(\displaystyle{ Z = \min \{X_1, ..., X_n\}}\).
Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) dla szczególnego przypadku, gdy
\(\displaystyle{ F_{x} = \begin{cases} 1-e^{- \alpha x} &\mbox{dla }x\ge 0 \\ 0 &\mbox{dla }x< 0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest stałą większą od \(\displaystyle{ 0}\).
Ostatnio zmieniony 25 lis 2018, o 15:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj indeksów dolnych. Nawiasy klamrowe to \{, \}. Poprawa wiadomości.
Powód: Używaj indeksów dolnych. Nawiasy klamrowe to \{, \}. Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
To jest klasyczne zadanie.
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(\max\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} \le y)=\\=\mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)=\left(F_x(y) \right)^n}\)
i analogicznie
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)=1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)=1- \prod_{i=1}^{n}\left( 1-\mathbf{P}(X_i\le z)\right) =1-\left( 1-F_x(z)\right)^n}\)
Do wzoru chyba sam umiesz podstawić…
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(\max\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} \le y)=\\=\mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)=\left(F_x(y) \right)^n}\)
i analogicznie
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)=1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)=1- \prod_{i=1}^{n}\left( 1-\mathbf{P}(X_i\le z)\right) =1-\left( 1-F_x(z)\right)^n}\)
Do wzoru chyba sam umiesz podstawić…
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Dzięki wielkie, nie do końca jeszcze rozumiem co się tam dzieje tak opisowo (zdecydowanie lepiej mi idzie kiedy są jakieś konkretne liczby lub przykłady). Jakbyś chciał słownie to komuś wytłumaczyć na przykład, jak to wszystko opisać. Jeszcze raz dzięki wielkie za poświęcony czas!
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Żeby maksimum z jakichś liczb (tutaj maksimum ze zmiennych losowych, ale idei to nie zmienia) było nie większe od jakiejś liczby \(\displaystyle{ y}\), potrzeba i wystarcza, że każda z tych liczb nie przekracza \(\displaystyle{ y}\). Analogicznie by minimum jakichś funkcji/liczb itd. było nie mniejsze od jakiejś liczby \(\displaystyle{ z}\), każda z tych liczb/funkcji itd. musi być nie mniejsza niż \(\displaystyle{ z}\).
Natomiast w przejściach
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)}\)
skorzystałem z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\).
Aha, no i w momencie
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)}\)
skorzystałem z takiej własności:
niech \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})}\) – przestrzeń probabilistyczna, wówczas dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\in \mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=1-\mathbf{P}(A)}\) (potem jeszcze raz z tego korzystam). Oczywiście (?) \(\displaystyle{ A'=\Omega\setminus A}\).
Natomiast w przejściach
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)}\)
skorzystałem z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\).
Aha, no i w momencie
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)}\)
skorzystałem z takiej własności:
niech \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})}\) – przestrzeń probabilistyczna, wówczas dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\in \mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=1-\mathbf{P}(A)}\) (potem jeszcze raz z tego korzystam). Oczywiście (?) \(\displaystyle{ A'=\Omega\setminus A}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Wszystko jasne! Dzięki! W ostatniej części wystarczy tylko podstawić wzór dla \(\displaystyle{ X, Y}\) który wyprowadziłeś pod podane wartości rozkładu \(\displaystyle{ F_{x}}\) i coś powinno wyjść(?).
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
A nie powinienem obliczyć całki od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) dla pierwszego po podstawieniu wzoru który obliczyłeś? Spróbowałem do tego podejść od zera na następny dzień i coś mi się chyba pomieszało.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Chyba czegoś nie doczytałem poprzednio, to polecenie:
(a przecież z treści jasno wynika, że \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są zmiennymi losowymi!) jest idiotyczne i pozbawione sensu. Myślałem, że chodzi o obliczenie dystrybuant rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\), ale wtedy to po prostu, po przekształceniach, które napisałem, sprowadza się do tego, by podstawić do wzoru (jak już pisałem).Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Nie wytknę chyba tego profesorowi który pisał tą listę zadań, ale ciekawa sprawa.
Czyli koniec końców wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ a) (1-e^{- \alpha x})^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) a dla 0 to 0
\(\displaystyle{ b) 1 - (2+e^{- \alpha x})^{n}}\)
Czyli koniec końców wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ a) (1-e^{- \alpha x})^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) a dla 0 to 0
\(\displaystyle{ b) 1 - (2+e^{- \alpha x})^{n}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
W b) się walnąłeś w obliczeniach (też nie lubię odejmowania…), ponadto dla \(\displaystyle{ x<0}\) dystrybuanta w obu przypadkach będzie przyjmowała wartość \(\displaystyle{ 0.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 8 razy
Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty
Odejmowanie to mój największy wróg.
Okej dzięki wielkie za pomoc, na kolanie szybko napisałem żeby się upewnić.
Okej dzięki wielkie za pomoc, na kolanie szybko napisałem żeby się upewnić.