Obliczanie funkcji dystrybuanty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć na czym polega to zadanie? Ciężko mi zrozumieć jak je rozwiązać,
a jeżeli ktoś mógłby poświęcić chwilę czasu na rozwiązanie go byłbym dozgonnie wdzięczny.
Dziękuję.

Niech \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z rozkładu o dystrybuancie \(\displaystyle{ F_{x}}\) .

Oblicz funkcje dystrybuanty dla
(a)\(\displaystyle{ Y = \max \{X_1, ..., X_n\}}\)
oraz
(b)\(\displaystyle{ Z = \min \{X_1, ..., X_n\}}\).

Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) dla szczególnego przypadku, gdy

\(\displaystyle{ F_{x} = \begin{cases} 1-e^{- \alpha x} &\mbox{dla }x\ge 0 \\ 0 &\mbox{dla }x< 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \alpha}\) jest stałą większą od \(\displaystyle{ 0}\).
Ostatnio zmieniony 25 lis 2018, o 15:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj indeksów dolnych. Nawiasy klamrowe to \{, \}. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Premislav »

To jest klasyczne zadanie.
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\mathbf{P}(Y \le y)=\mathbf{P}(\max\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} \le y)=\\=\mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)=\left(F_x(y) \right)^n}\)
i analogicznie
\(\displaystyle{ F_Z(z)=\mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)=1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)=1- \prod_{i=1}^{n}\left( 1-\mathbf{P}(X_i\le z)\right) =1-\left( 1-F_x(z)\right)^n}\)
Do wzoru chyba sam umiesz podstawić…
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Dzięki wielkie, nie do końca jeszcze rozumiem co się tam dzieje tak opisowo (zdecydowanie lepiej mi idzie kiedy są jakieś konkretne liczby lub przykłady). Jakbyś chciał słownie to komuś wytłumaczyć na przykład, jak to wszystko opisać. Jeszcze raz dzięki wielkie za poświęcony czas!
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Premislav »

Żeby maksimum z jakichś liczb (tutaj maksimum ze zmiennych losowych, ale idei to nie zmienia) było nie większe od jakiejś liczby \(\displaystyle{ y}\), potrzeba i wystarcza, że każda z tych liczb nie przekracza \(\displaystyle{ y}\). Analogicznie by minimum jakichś funkcji/liczb itd. było nie mniejsze od jakiejś liczby \(\displaystyle{ z}\), każda z tych liczb/funkcji itd. musi być nie mniejsza niż \(\displaystyle{ z}\).
Natomiast w przejściach
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1\le y, X_2\le y, \ldots X_n \le y)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i\le y)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}\left( X_1>z, \ldots X_n>z\right)=\\=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>z)}\)
skorzystałem z niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\).
Aha, no i w momencie
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Z\le z)=\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\}\le z \right) =\\=1-\mathbf{P}\left( \min\left\{ X_1, \ldots X_n\right\} >z\right)}\)
skorzystałem z takiej własności:
niech \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})}\) – przestrzeń probabilistyczna, wówczas dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A\in \mathcal{F}}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=1-\mathbf{P}(A)}\) (potem jeszcze raz z tego korzystam). Oczywiście (?) \(\displaystyle{ A'=\Omega\setminus A}\).
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Wszystko jasne! Dzięki! W ostatniej części wystarczy tylko podstawić wzór dla \(\displaystyle{ X, Y}\) który wyprowadziłeś pod podane wartości rozkładu \(\displaystyle{ F_{x}}\) i coś powinno wyjść(?).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Premislav »

Tak, zgadza się.
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

A nie powinienem obliczyć całki od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) dla pierwszego po podstawieniu wzoru który obliczyłeś? Spróbowałem do tego podejść od zera na następny dzień i coś mi się chyba pomieszało.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Premislav »

Chyba czegoś nie doczytałem poprzednio, to polecenie:
Oblicz \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\)
(a przecież z treści jasno wynika, że \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są zmiennymi losowymi!) jest idiotyczne i pozbawione sensu. Myślałem, że chodzi o obliczenie dystrybuant rozkładów prawdopodobieństwa zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\), ale wtedy to po prostu, po przekształceniach, które napisałem, sprowadza się do tego, by podstawić do wzoru (jak już pisałem).
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Nie wytknę chyba tego profesorowi który pisał tą listę zadań, ale ciekawa sprawa.
Czyli koniec końców wystarczy napisać:
\(\displaystyle{ a) (1-e^{- \alpha x})^{n}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) a dla 0 to 0
\(\displaystyle{ b) 1 - (2+e^{- \alpha x})^{n}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Premislav »

W b) się walnąłeś w obliczeniach (też nie lubię odejmowania…), ponadto dla \(\displaystyle{ x<0}\) dystrybuanta w obu przypadkach będzie przyjmowała wartość \(\displaystyle{ 0.}\)
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Obliczanie funkcji dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Odejmowanie to mój największy wróg.
Okej dzięki wielkie za pomoc, na kolanie szybko napisałem żeby się upewnić.
ODPOWIEDZ