Prawdopodobieństwo warunkowe

[szaki9]

Hej,

mam takie zadanie:

Urna zawiera \(\displaystyle{ n}\) kul białym i \(\displaystyle{ m}\) kul czarnych. Losujemy jedną kulę, a następnie wrzucamy ją ponownie do urny dorzucając dodatkowo \(\displaystyle{ l}\) kul białych, jeśli to była kula biała lub \(\displaystyle{ l}\) kul czarnych, jeśli to była kula czarna. Powtarzamy tę operację wielokrotnie. Udowodnić, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli białej w \(\displaystyle{ k}\)-tym losowaniu jest równe \(\displaystyle{ \frac{n}{n+m}}\) dla a) \(\displaystyle{ k=1,2,3}\) b) dowolnego \(\displaystyle{ k}\).

I o ile przypadek dla \(\displaystyle{ k=1}\) i \(\displaystyle{ k=2}\) jest zrozumiały, bo korzystamy ze wzoru na p-stwo całkowite, to nie wiem jak rozpisać przypadek dla \(\displaystyle{ k=3}\).
Gdy jako \(\displaystyle{ B_{k}}\) nazwiemy zdarzenie, że w \(\displaystyle{ k}\)-tym losowaniu wyciągamy kulę białą, to korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite będziemy mieć, dla \(\displaystyle{ k=3}\):

\(\displaystyle{ P(B _{3})=P(B _{3}|B _{2})P(B _{2}) + P(B _{3}|B _{2} ^{c} )P(B _{2} ^{c} )}\)

z tym, że o ile policzenie samego \(\displaystyle{ P(B _{2})}\) nie jest trudne, bo po pierwszym rzucie logiczne jest jak się będzie zachowywało \(\displaystyle{ P(B _{2}|B _{1})}\) to nie wiem w jaki sposób rozpisać \(\displaystyle{ P(B _{3}|B _{2})}\), bo po \(\displaystyle{ B _{2}}\) mogło dojść albo \(\displaystyle{ 2l}\) lub \(\displaystyle{ l}\) kul białych.

Myślę, że jak zrozumiem przypadek dla \(\displaystyle{ k=3}\), to potem dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) dam radę rozwiązać, dziękuję z góry za pomoc!

[janusz47]

Jako sumę dwóch prawdopodobieństw warunkowych.

[a4karo]

Spróbuj indukcją po ilości losowań.