Wartość oczekiwana i variancja zmiennej losowej w terminach

[gokuruto]

Witam mam pytanie jak można rozwiązać tego typu zadanie ?

Wyznacz wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej X o wartościach naturalnych
w terminach:
a)funkcji tworzącej P
b)funkcji tworzącej Q

Gdzie:
\(\displaystyle{ P(x)=\sum_{n=0}^\infty p_nx^n}\)
\(\displaystyle{ p_n=P(X=n)}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=\sum_{n=0}^\infty q_nx^n}\)
\(\displaystyle{ q_n=P(X>n)}\)

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ E(X) = P'(1)= \sum_{n=1}^{\infty}np_{n}x^{n-1}_{|x=1}= \sum_{n=1}^{\infty}np_{n}.}\)

\(\displaystyle{ D^2(X) = P''(1) +P'(1) - P^2(1) = \sum_{n=1}^{\infty}n(n-1)p_{n}x^{n-2}_{|x=1}+ \sum_{n=1}^{\infty}np_{n} + \sum_{n=1}^{\infty}n^2p_{n}^2.}\)

b)

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=0}^{\infty}q_{n}x^{n}_{|x=1}.}\)

\(\displaystyle{ D^2(X) = 2Q'(1) +Q(1) - Q^2(1).}\)

[gokuruto]

Dlaczego w przypadku
b)
\(\displaystyle{ E(X)=\sum_{n=0}^{\infty}q_{n}x^{n}_{|x=1}}\)

nie powinno to wyglądać tak jak w przykładzie a) tylko ze z a czy ma na to wpływ, że \(\displaystyle{ q_n=P(X>n)}\) ?

oraz Dlaczego wystepuje \(\displaystyle{ 2Q'(1)}\) a nie \(\displaystyle{ Q''(1)}\) oraz \(\displaystyle{ Q(1)}\) zamiast \(\displaystyle{ Q'(1)}\)?

[janusz47]

Równania te, wynikają z następującego twierdzenia:

Dla \(\displaystyle{ -1 <x<1,}\) zachodzi równość:

\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{1 - P(x)}{1 - x}.}\)