Bayes - zmienna dyskretna i ciągła

[schihan]

Witam,

mam problem z poniższym zadaniem i chciałbym je z wami skonsultować:

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie dyskretną zmienną losową z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) przyjęcia wartości \(\displaystyle{ 1}\) i przyjęcia wartości \(\displaystyle{ -1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ (1-p)}\),

Jeżeli \(\displaystyle{ S=1}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \alpha > 0}\) czyli \(\displaystyle{ f(x|1) = \alpha \cdot e^{-\alph&ax}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ S=-1}\), to zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \beta > 0}\) czyli \(\displaystyle{ f(x|-1) = \beta \cdot e^{\beta \cdot x}}\) dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)

Obliczyć:

1. \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

2. \(\displaystyle{ f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)

3. \(\displaystyle{ P(S=1|Z=z)}\) gdzie \(\displaystyle{ Z = |X|}\) gdzie prawdopodobieństwo ma być wyrażone jako funkcja z argumentem \(\displaystyle{ z}\)

w 1 mam \(\displaystyle{ f(x) = p\alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x}}\)

w 2 mi wyszło \(\displaystyle{ f(x) = (1-p)\beta \cdot e^{\beta \cdot x}}\)

z 3 mam ogromny problem próbowałem z Bayesem ale wyszedł mi jakiś kosmos mianowicie:

\(\displaystyle{ \frac{p\alpha \cdot e^{-\alpha \cdot z}}{p\alpha \cdot e^{-\alpha \cdot z}+(1-p)\beta \cdot e^{\beta \cdot z}}}\)

Ogólnie nie wiem czy to jest w ogóle dobrze i nie wiem za bardzo jak ruszyć z trzecim... wielkie dzięki za jakąkolwiek pomoc.....

[janusz47]

Proszę sprawdzić równości podstawiając rozkłady:

1.
\(\displaystyle{ f_{+}(x) = f(1) f(x|1)}\)

2.
\(\displaystyle{ f_{-1}(x) = f(-1) f(x|-1).}\)

3.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

\(\displaystyle{ Pr(S =1||X| =z) = \frac{Pr( \{S=1\} \cap [\{X = z \} \cup \{X=-z\}]}{Pr(\{X = z \} \cup \{X=-z\})}.}\)

[leg14]

Janusz, co do 3:
A ile to jest zero podzielić na zero?

[janusz47]

Gdzie mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}?}\)

[leg14]

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) jest ciągła więc prawdopodobieństwa w mianowniku i liczniku są równe zero.

[janusz47]

Nieprawda podstaw wartości prawdopodobieństw.

[leg14]

W modelu bayesowskim, w którym \(\displaystyle{ X | \theta}\) jest ciągły i rozkład \(\displaystyle{ \theta}\) jest ciągły / dyskretny zawsze rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły. Wobec tego \(\displaystyle{ \PP(|X| = z ) = \PP(X = z) + \PP(X = -z ) = 0}\)

[janusz47]

Ta suma prawdopodobieństw zdarzeń \(\displaystyle{ \{ X= x \}, \{ X= -x\}}\) nie Jest równa zeru.

[leg14]

jest, bo X jest ciągła

[schihan]

Witam, czyli rozumiem tak:

1.Dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) \(\displaystyle{ f_{X}(x) = p(1) f_{X|S}(x|1)}\) czyli rozumiem, że mam dobrze bo \(\displaystyle{ p(1)=p}\) i \(\displaystyle{ f_{X|S}(x|1) = \alpha \cdot e^{-\alph&ax}}\)

2. Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) \(\displaystyle{ f_{X}(x) = p(-1) f_{X|S}(x|-1)}\) czyli też dobrze bo \(\displaystyle{ p(-1)=(1-p)}\) i \(\displaystyle{ f_{X|S}(x|-1) = \beta \cdot e^{\beta \cdot x}}\)

3. tutaj nie jestem pewien ale skoro mowimy o wartościach prawdopodobieństw to powinieniem wstawić dystrybuanty (nie wiem czy napewno) czyli kolejno \(\displaystyle{ Pr( \{S=1\} \cap [\{X = z \} \cup \{X=-z\}]} = p\cdot(1-e^{-\alpha&z})}\) (bo \(\displaystyle{ {Pr( \{S=1\} \cap \{X=-z\}} = 0}\)), a w mianowniku \(\displaystyle{ Pr(\{X = z \} \cup \{X=-z\}) = p\cdot(1-e^{-\alpha&z}) + (1-p) (1-e^{-\beta&z})}\).... innego pomysłu nie mam, bo jak mam pracować na prawdopodobieństwach to jedynie dystrybuanty według mnie wchodzą w grę ponieważ dystrybuanty parametryzowane są w sposób np. \(\displaystyle{ Pr(\{X \le z \}}\), a jeśli mają to być dystybuanty to przy wyciąganiu tej wartości bewzględnej powinno tam być \(\displaystyle{ Pr(\{X \le -z \}}\) czy może \(\displaystyle{ Pr(\{X \ge -z \}}\)? z góry dzięki za dalsze wskazówki.. pozdrawiam

[janusz47]

Rozwiązanie poprawne.

[leg14]

janusz47, typowe chowanie glow yw piasek.
Nie wspominająco tym ze nigdzie nie powinny byc wstawiane dystrybuanty

[janusz47]

leg14
Po pierwsze, to nie jest model baeysowski.
Po drugie nie chowam głowy z w piasek.

[schihan]

leg14, a jakie według Ciebie powinno być rozwiązanie?

[leg14]

Otóż to jest model bayesowski (a przynajmniej mozna go tak interpretowac, wiec moja argumentacja jest poprawna).

Zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dany gęstością \(\displaystyle{ p \alpha e^{-\alpha x} 1_{x \ge 0} +
(1-p) \beta e^{\beta x}1_{x \le 0}}\).
Wobec tego zmienna \(\displaystyle{ Z}\) ma gęstość (a więc prawdopodobieństwa wskazane przez Janusza są zerowe) \(\displaystyle{ p \alpha e^{-\alpha x} 1_{x \ge 0} +
(1-p) \beta e^{-\beta x}1_{x \ge 0}}\).
Jeżeli chcesz znaleźć rozkład warunkowy \(\displaystyle{ S |Z}\) proponuję zacząć od policzenia gęstości łącznej wektora losowego \(\displaystyle{ (S,Z)}\).