Deska Galtona + tw. de Moivre'a Laplace'a

[dulrab]

Witam,
byłbym wdzięczny gdyby ktoś wyjaśnił mi pewną kwestię. Chciałbym przybliżyć tw.granicznym de Moivre'a-Laplace'a liczbę sukcesów w doświadczeniu z deską Galtona, czyli dla \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}.}\) Za sukces przyjęte zostało odbicie się kulki w prawo, za \(\displaystyle{ n}\) liczba
rzedow gwoździ. Numerem komory, do której wpada piłka będzie ilość sukcesów w schemacie Bernoulliego \(\displaystyle{ B(n,\frac{1}{2} )}\).
I znalazłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \sqrt{n} }{2} \cdot P( \frac{2 \cdot S _{n} -n}{ \sqrt{n} } \approx x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot e ^{- \frac{x ^{2}}{2} } }}\)

Nie rozumiem skąd się wziął tam ułamek \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n} }{2}}\) przed pr-stwem.
Druga sprawa: dlaczego liczba sukcesów w takim doświadczeniu jest wyrażona przez:
\(\displaystyle{ \frac{n}{2} + \sqrt{ \frac{n}{4} }x}\)?
Z jakiego wzoru to jest policzone? Jest jakis wzór w którym dodaje się wartość oczekiwaną do odchylenia?
Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}{\displaystyle { n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}= {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\,e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2npq}}}, p+q=1,\ p = \frac{1}{2}}.}\)

[dulrab]

Czyli to, co ja napisałem nie jest poprawne?

[janusz47]

Nie twierdzę, że to jest niepoprawny zapis. Integralne Twierdzenie de Moivre'a Laplace'a,. które zapisałem zastosuj do deski Francisa Galtona.