Odwrotna dystrybuanta i zmienna losowa

[Maslow]

Mam takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz niech \(\displaystyle{ F}\) będzie ściśle rosnącą dystrybuantą pewnego rozkładu. Jaką dystrybuantę ma zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=F^{-1}(X)}\) ?
Próbowałam tak:
\(\displaystyle{ F _{Y}(t)=P(Y \le t)=P(F^{-1}(X) \le t)=P(F(F^{-1}(X)) \le F(t)) \le P(X \le F(t))=F _{X}(F(t))=F(t)}\).
Ale nigdzie mnie to nie doprowadziło.

[Premislav]

Przecież praktycznie rozwiązałaś zadanie.

[Maslow]

Pokazałam, że \(\displaystyle{ F _{Y}(t) \le F(t)}\).
A co z nierównością w drugą stronę ?

[Premislav]

Jaką nierównością w drugą stronę? Widzę teraz, że napisałaś
\(\displaystyle{ P(F(F^{-1}(X)) \le F(t)) \le P(X \le F(t))}\), a dlaczego nie
\(\displaystyle{ P(F(F^{-1}(X)) \le F(t)) {\red =} P(X \le F(t))}\)

[Maslow]

No bo \(\displaystyle{ F(F^{-1}(X))=X}\) o ile funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest surjekcją, a przecież dystrybuanta \(\displaystyle{ F:R \rightarrow R}\) a przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) więc nie jest surjekcją.

[Premislav]

Przecież tu nie masz przeciwobrazu i obrazu, tylko funkcję i funkcję do niej odwrotną, mylisz byty.

[Maslow]

No tak, \(\displaystyle{ F(F^{-1}(X))=F\circ F^{-1} \circ X=X}\), mój błąd.
Dziękuję !