Ciąg arytmetyczny

[Belf]

Dany jest skończony ciąg arytmetyczny : \(\displaystyle{ a_1,a_2...a_n}\) o niezerowej różnicy.Jakie jest prawdopodobieństwo,że wylosowane trzy elementy utworzą w kolejności wylosowania ciąg arytmetyczny?

[janusz47]

Zakładamy, że losowanie każdej trójki elementów ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest jednakowo możliwe.

Wszystkich wyborów trzech elementów ze zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementów jest

\(\displaystyle{ {n \choose 3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}.}\)

Trzy wylosowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, wtedy i tylko wtedy, gdy są względem siebie równo oddalone (równo odległe).

Niech \(\displaystyle{ l(s)}\) zawiera liczbę takich trójek, które mogą być utworzone spośród s-elementów ciągu \(\displaystyle{ (a_{n}).}\)

Zliczając wstecznie względem \(\displaystyle{ s,}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ l(2s -1) = l(2s) = s -1.}\)

Liczba wszystkich równo odległych trójek jest więc równa:

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{s=3}^{n} l (s).}\)

Rozpatrujemy dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ n = 2m, \ \ m = \frac{n}{2}.}\)

\(\displaystyle{ S'_{n}= \sum_{s=3}^{2m}[ l(2s-1) - l(s)] = 2\sum_{s=2}^{m}(s-1) = 2\sum_{s=1}^{m-1}s = 2{m\choose 2}= m(m-1)=\\ =\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right) = \frac{1}{4}n(n-2).}\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A,}\) że wylosowane trzy elementy ciągu - utworzą ciąg arytmetyczny jest więc równe

\(\displaystyle{ P'(A) = \frac{\frac{1}{4}n(n-2)}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{3}{2(n-1)}, \ \ n\geq 3.}\)


2. \(\displaystyle{ n = 2m-1, \ \ m = \frac{n+1}{2}.}\)

\(\displaystyle{ S_{n}''= \sum_{s=3}^{2m-1}l(s) = \sum_{s= 3}^{2m}l(s) - l(2m) = \frac{1}{4}(n+1)(n-1)-\left(\frac{n+1}{2} -1 \right) =\\ = \frac{1}{4}(n -1)^2.}\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ P''(A) = \frac{\frac{1}{4}(n -1)^2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}= \frac{3(n-1)}{2n(n-2)}, \ \ n\geq 3.}\)