Suma dystrybuant.

[pawlo392]

Weźmy sobie dwie dystrybuanty \(\displaystyle{ F_1}\) oraz \(\displaystyle{ F_2}\). Chcemy znaleźć takie stałe \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) aby \(\displaystyle{ aF_1+bF_2}\) też była dystrybuantą.
Sprawdzamy zgodnie z definicją:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}(aF_1+bF_2)(x)=1}\) z tego wynika że \(\displaystyle{ a+b=1}\).
\(\displaystyle{ \lim_{x \to-\infty }(aF_1+bF_2)(x)=0}\) to jest spełnione dla każdego \(\displaystyle{ a,b}\).
\(\displaystyle{ (aF_1+bF_2) \in \left[ 0,1\right]}\)
Jeszcze chcemy mieć funkcję niemalejącą.
Zatem interesują nas takie \(\displaystyle{ a,b}\) aby \(\displaystyle{ a+b=1}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \in \left[ 0,1\right]}\).
Teraz drugie pytanie:
Czy zbiór ten może być większy dla różnych ustalonych dystrybuant \(\displaystyle{ F_1, F_2}\).
Tutaj nie jestem pewny ale sądzę, że nie.

[Premislav]

Jeszcze jest warunek prawostronnej ciągłości, ale skoro pojedyncze dystrybuanty go spełniają, to ich skończona kombinacja liniowa też. Nic więcej nie mogę zarzucić, nie rozumiem, co masz na myśli na końcu, w zasadzie rozwiązałeś zadanie.

[pawlo392]

Już je dokończyłem. Generalnie chodziło o to aby sprawdzić czy ustalając dwie różne dystrybuanty możemy znaleźć inne stałe \(\displaystyle{ a,b}\), takie które niekoniecznie są dodatnie, na przykład.