oblicz parametry i kwanyl rzedu 1/3

[maniek980]

Cześć, mam wątpliwości jak zrobić jedną część zadania.
Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} c_{1}x^2,\hspace{1cm} -1 \le x \le 0 \\
c_2\left( 1-x^2\right) \hspace{1cm} 0 <x \le 1\\
0 \hspace{1.5cm} pozostale \end{cases}}\)

Zakładając \(\displaystyle{ \mathbb{E} \mathrm{X}=0}\):
a)wyznacz wartości \(\displaystyle{ c_1,c_2}\)
b)kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
No to z warunków:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1}\)
i \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=0}\)
obliczyłem \(\displaystyle{ c_1=-1, c_2=1}\)
I teraz jak wyznaczyć kwantyl rzędu\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ?
Muszę mieć do tego dystrybuante. Mogę po prostu scałkować funkcje tj. dla każdego przedziału osobno? xd
To miałbym:
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} -\frac{x^3}{3} ,\hspace{1cm} -1 \le x \le 0 \\
x- \frac{x^3}{3} \hspace{1cm} 0 <x \le 1\\
0 \hspace{1.5cm} pozostale \end{cases}}\)
I co teraz zrobić żeby mieć kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ?

[Premislav]

Zazwyczaj kwantylem rzędu \(\displaystyle{ p\in (0,1)}\) określa się
\(\displaystyle{ \inf\left\{ x\in \RR: F(x)\ge p\right\}}\), przynajmniej jeśli chce się, żeby był jednoznaczny. No, chyba że mi się coś pokićkało. Czyli spróbuj rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ F(x)\ge \frac 1 3}\) jako nierówność z niewiadomą \(\displaystyle{ x.}\)

[maniek980]

No to mamy trzy nierówności i z pierwszej dostajemy:
\(\displaystyle{ -\frac{x^3}{3} \ge \frac{1}{3}}\), prawda tylko dla \(\displaystyle{ x=-1}\)
\(\displaystyle{ x-\frac{x^3}{3} \ge \frac{1}{3}/*3}\)
\(\displaystyle{ 3x-x^3 -1\ge 0}\)
Tutaj okazuje sie że mam problem z nierównościami xd weźmy przybliżone miejsca zerowe z wolframa i wówczas nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ x \in [ \approx 0.338; 1]}\)
Trzecia nierówność trywialna, dostajemy sprzeczność.

[Premislav]

Nie zwróciłem wcześniej na to uwagi, ale przecież źle wyznaczyłeś tę dystrybuantę, wszak dystrybuanta musi być niemalejąca, w \(\displaystyle{ -\infty}\) mieć granicę zero i w \(\displaystyle{ +\infty}\) granicę \(\displaystyle{ 1}\), a tutaj… Stała \(\displaystyle{ c_1}\) też ewidentnie źle wyznaczona, przecież gęstość ma być nieujemna.

[maniek980]

Poprawka:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-1}^{0} c_1 x^2 dx+\int_{0}^{1}c_2 \left( 1-x^2\right) dx=1}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{-1}^{0} c_1 x^3 dx+\int_{0}^{1}c_2 \left( x-x^3\right) dx=0}\)
\(\displaystyle{ c_1=c_2=1}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^2,\hspace{1cm} -1 \le x \le 0 \\
\left( 1-x^2\right) \hspace{1cm} 0 <x \le 1\\
0 \hspace{1.5cm} pozostale \end{cases}}\)

[Premislav]

Teraz OK. Z tego łatwo wyznaczyć wzór dystrybuanty, całkując i dobierając odpowiednie stałe całkowania, żeby dystrybuanta była ciągła, wyjdzie coś takiego
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 &\text{ dla }x<-1 \\ \frac{1+x^3}{3} &\text{ dla }-1\le x\le 0\\ \frac{3x-x^3+1}{3} &\text{ dla }0<x\le 1\\ 1 &\text{ dla }x> 1\end{cases}}\)
Następnie znajdź najmniejsze \(\displaystyle{ x}\) będące rozwiązaniem nierówności, o której wcześniej pisałem.

[maniek980]

Aha, czyli te stałe dobieramy tak żeby dystrybuanta była ciągła i zgadzały się granice.
\(\displaystyle{ \frac{1+x^3}{3} \ge \frac{1}{3}/*3}\)
\(\displaystyle{ 1+x^3-1 \ge 0, x \in \left[-1,0 \right] \Rightarrow x=0}\)

[Premislav]

OK.