Przestrzeń probabilistyczna - wykaż

[beataa06]

Niech \(\displaystyle{ (\Omega, F, P)}\) przestrzeń probabilistyczna. Zakładamy, że \(\displaystyle{ P(A)>0 \Rightarrow \bigvee B \subset A, 0<P(B)<P(A).}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ (P(A)>0 \wedge \epsilon >0) \Rightarrow \bigvee B \subset A, 0<P(B)< \epsilon}\)

[leg14]

Proponuję przez zaprzeczenie - jeśli nie ma B dla danego epsilona, to ...?

[beataa06]

Że jakoś tak?
\(\displaystyle{ \sim \bigvee B \subset A: 0<P(B)< \epsilon \Rightarrow P(B)> \epsilon}\)

[leg14]

Nie skupiaj się na zaprzeczaniu suchych formuł logicznych tylko na znaczeniu.
Jeśli teza jest nieprawdziwa, to istnieje takie \(\displaystyle{ \epsilon}\) , ze \(\displaystyle{ \PP(B) \ge \epsilon}\) lub \(\displaystyle{ \PP(B) = 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ B \subset A}\). Co dalej ?

[beataa06]

Za \(\displaystyle{ P(B)}\) wstawić \(\displaystyle{ P(A)}\) ? Tylko nie wiem jak tu dojść do sprzeczności

[leg14]

Niech \(\displaystyle{ w = \inf \left\{ \PP(B) : B \subset A \wedge \PP(B) \ge \epsilon\right\}}\).
Proponuję pokazanie, że istnieje \(\displaystyle{ C \subset A}\) takie, że \(\displaystyle{ \PP(C) = w}\) i skorzystanie z założenia:
\(\displaystyle{ P(A)>0 \Rightarrow \bigvee B \subset A, 0<P(B)<P(A).}\) do wykazania sprzeczności.
(zakladam ze w powyzszym zalozeniu A jest dowolne)

[beataa06]

A nie da się tego jakoś prościej bez tworzenia tego \(\displaystyle{ w}\)?