Ograniczenia P(A) w przestrzeni 3 zbiorów

[beataa06]

Niech
\(\displaystyle{ A \cup B \cup C=\Omega, P(B)=2 \cdot P(B), P(C)=3 \cdot P(A),P(A \cap B)=P(A \cap C)=P(B \cap C).}\)
Pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \le P(A) \le \frac{1}{4}}\). Pokazać, że oba ograniczenia mogą być osiągnięte.
Wartość \(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6}}\) udało mi się uzyskać przy przyjęciu, że te przecięcia są puste. A tą drugą wartość chciałam uzyskać przyjmując że przecięcia wynoszą po \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i próbowałam ze wzoru włączeń i wyłączeń dla 3 zbiorów ale nie wiem jak wyznaczyć przecięcie tych trzech zbiorów.

[Jan Kraszewski]

Niech
\(\displaystyle{ A \cup B \cup C=\Omega, \red P(B)=2 \cdot P(B)\black , P(C)=3 \cdot P(A),P(A \cap B)=P(A \cap C)=P(B \cap C).}\)

Czy czerwony warunek na pewno tak wygląda?

JK

[beataa06]

Fakt, tam powinno być \(\displaystyle{ P(B)=2 \cdot P(A)}\)

[Premislav]

Chyba już rozwiązywałem w tym dziale to zadanie, ale teraz nie mogę znaleźć.
Z nierówności Boole'a i z założeń zadania:
\(\displaystyle{ 1=\mathbf{P}(A\cup B\cup C)\le \mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)=6\mathbf{P}(A)}\). Równość zachodzi na przykład wtedy, gdy \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) są rozłączne, jak pisałaś.

Trochę trudniej jest z ograniczeniem górnym (jak się zobaczy szacowania, to są trywialne, ale trochę trudniej na nie wpaść). W dowodzie pomoże mi to, że rozmyślając nad ludzkim istnieniem, zauważyłem przypadkiem prościutką realizację równości w ograniczeniu górnym:
niech \(\displaystyle{ A\cap B=A\cap C=B\cap C=A, \ \mathbf{P}(A)=\frac 1 4}\) oraz niech \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=\frac 1 2, \ \mathbf{P}(C)=\frac 3 4}\).
Ale wracamy do szacowania:
\(\displaystyle{ 1=\mathbf{P}(A \cup B \cup C)\ge \mathbf{P}(B \cup C)=\\=\mathbf{P}(B)+\mathbf{P}(C)-\mathbf{P}(B\cap C)=5\mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(A\cap C)\ge \\ \ge 5\mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(A)}\)
Pierwsza równość: \(\displaystyle{ A\cup B\cup C=\Omega}\).
Następująca po niej nierówność: jeśli \(\displaystyle{ X\subset Y}\), to \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X)\le \mathbf{P}(Y) \ (*)}\). Potem skorzystałem ze wzoru włączeń i wyłączeń, a na koniec z założeń zadania
(\(\displaystyle{ \mathbf{P}(B\cap C)=\mathbf{P}(A\cap C)}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=2\mathbf{P}(A), \ \mathbf{P}(C)=3\mathbf{P}(A)}\)) i jeszcze raz z \(\displaystyle{ (*)}\) (dzięki temu \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)\ge \mathbf{P}(A\cap C)}\)).