Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest p.w. różniczkowalna

[matmatmm]

Potrzebuję pomocy ze standardowym i dobrze znanym twierdzeniem, które w moich notatkach jest podane bez dowodu.

Niech \(\displaystyle{ g:\RR\rightarrow\overline{\RR}}\) będzie funkcją mierzalną i prawie wszędzie nieujemną taką, że

\(\displaystyle{ \int_{\RR}g \, \textrm{d}l_1=1}\)

Wiadomo, że wzór \(\displaystyle{ \PP(B)=\int_B g \, \dd l_1}\) określa miarę probablistyczną na \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\RR)}\), a wzór \(\displaystyle{ F(x)=\PP\left( (-\infty,x]\right)=\int_{-\infty}^x g \, \dd l_1}\) dystrybuantę.

Jak pokazać, że dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ x\in\RR}\), \(\displaystyle{ F}\) jest różniczkowalna oraz dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ x\in \RR}\), \(\displaystyle{ F'(x)=g(x)}\) ?

[Premislav]

Jest taki ogólny fakt: zbiór punktów nieróżniczkowalności funkcji monotonicznej jest miary Lebesgue'a zero. \(\displaystyle{ F}\) jest z definicji niemalejąca. Nigdy nie widziałem dowodu tego wspomnianego faktu (a jesli widziałem, to zapomniałem), nie jestem też prawdziwym matematykiem, więc nie przychodzi mi do głowy żaden pomysł, jak to wykazać, ale nietrudno to znaleźć po angielsku:

Kod: Zaznacz cały

http://mathonline.wikidot.com/lebesgue-s-theorem-for-the-differentiability-of-monotone-fun

Możesz zerknąć, czy trzyma się to kupy i czy do Ciebie trafia.

[leg14]

Ale Premislav tutaj nie chodzi o wykazanie takeigo ogolnego faktu, tylko o wykazaniu, ze
(w skrocie):
F dana wzorem \(\displaystyle{ F(x)=\PP\left( (-\infty,x]\right)=\int_{-\infty}^x g \, \dd l_1}\)
jest p.w. rozncizkowlana iblalalalablabla...

matmatmm proponuję to wykazać (rozniczkowalnosc) z definicji. Trzeba zaczac od wybrania realizacji funkcji g - bo pamietaj, ze ona jest okreslona tylko z dokladnoscia do zbiorow miary zero.

[matmatmm]

Mnie się jednak wydaje, że z tego faktu można skorzystać, tylko trzeba jeszcze pokazać, że \(\displaystyle{ F'(x)=g(x)}\) dla p.w. \(\displaystyle{ x}\). Ja bym próbował pokazać najpierw, że
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x F'(t) \, \dd t}\) (funkcja podcałkowa jest nieokreślona tylko na zbiorze miary zero, więc całka ma sens). Pytanie tylko jak to pokazać. Nie mogę się powołać na standardowe twierdzenie Newtona-Leibnitza itp.