Prawdopodobieństwo choroby

[Gotek]

Wiadomo, że na pewną chorobę choruje 1 osoba na 1000. Test wykrywający tę chorobę daje następujące wyniki:

pozytywny - z prawdopodobieństwem 95% gdy badana jest chora osoba,
negatywny - z prawdopodobieństwem 5% gdy badana jest chora osoba,
pozytywny - z prawdopodobieństwem 5% gdy badana jest zdrowa osoba,
negatywny - z prawdopodobieństwem 95% gdy badana jest zdrowa osoba,
Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba u której wyszedł pozytywny wynik rzeczywiście jest chora?

Wyliczając wynik wychodzi:

\(\displaystyle{ +}\) - wynik pozytywny
\(\displaystyle{ -}\) - wynik negatywny
\(\displaystyle{ P(ch)}\) - chora \(\displaystyle{ = 0,01\%}\)
\(\displaystyle{ P(Z)}\) - zdrowa \(\displaystyle{ = 99,9\%}\)

\(\displaystyle{ P(ch|+) = 95\% \\
P(Ch|-) = 5\%\\
P(Z|-) = 95\%\\
P(Z|+) = 5\%\\
P(+|Ch) = \frac{P(Ch|+) \cdot P(+)}{P(Ch|+) \cdot P(+)+P(Z|-) \cdot P(-)} \approx 1,9 \%}\)

Osoba z poprzedniego zadania powtórzyła test i otrzymała znowu wyniki pozytywny.
Jakie jest teraz prawdopodobieństwo, że osoba jest rzeczywiście chora? Jak zmieni
się ono przy trzecim powtórzeniu testu (z wynikiem pozytywnym)?

Jak należy policzyć prawdopodobieństwo następnych testów?

-- 4 lis 2018, o 20:32 --

Robiąc drzewkiem od punktu
\(\displaystyle{ P(Ch|+)}\) tworzę rozgałęzienie
i mam \(\displaystyle{ P(Ch|+) \cdot P(CH) \cdot P(Ch|+)}\)
\(\displaystyle{ P(Ch|+) \cdot P(Z) \cdot P(Z|-)}\)
co dajem mi
\(\displaystyle{ P = \frac{0,001 \cdot 0,95 \cdot 0,001 \cdot 0,95}{0,001 \cdot 0,95*0,001 \cdot 0,95+0,001 \cdot 0,95 \cdot 0,999 \cdot 0,05}}\)
Czy można tak zrobić?

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(+|Ch) = \frac{P(Ch|+) \cdot P(+)}{P(Ch|+) \cdot P(+)+P(Z|-) \cdot P(-)} \approx 1,9 \%}\)

Raczej
\(\displaystyle{ P(Ch|+) = \frac{P(Ch)P(Ch|+)}{P(Ch)P(Ch|+) +P(Z)P(Z|+) }}\)

Osoba z poprzedniego zadania powtórzyła test i otrzymała znowu wyniki pozytywny.
Jakie jest teraz prawdopodobieństwo, że osoba jest rzeczywiście chora?

\(\displaystyle{ P(Ch|++) = \frac{P(Ch)P(Ch|+)P(Ch|+)}{P(Ch)P(Ch|+)P(Ch|+) +P(Z)P(Z|+)P(Z|+) }}\)

Jak zmieni się ono przy trzecim powtórzeniu testu (z wynikiem pozytywnym)?

\(\displaystyle{ P(Ch|+++) = \frac{P(Ch)P(Ch|+)P(Ch|+)(Ch|+)}{P(Ch)P(Ch|+)P(Ch|+)(Ch|+) +P(Z)(Z|+)P(Z|+)P(Z|+) }}\)