Prawdopodobieństwo geometryczne

[mela1015]

Ile wynosi prawdopodobieństwo, że rzucona moneta stanie na krawędzi (moneta to „walec”!)?

[a4karo]

Idealna matematyczna moneta jest nieskończenie cienka więc na brzeg nie spadnie.

W przypadku walca mamy do czynienia z dość skomplikowanym zagadnieniem fizycznym.

[janusz47]

Rysunek prostokąta - przekroju osiowego monety.

\(\displaystyle{ \frac{h}{r} = \kappa}\) - stosunek długości wysokości do długości promienia monety

Model powierzchniowy

\(\displaystyle{ P(r, h) = \frac{2\pi rh}{2\pi r^2 + 2\pi rh} = \frac{\kappa}{1 +\kappa}.}\)

[mela1015]

Trzeba uwzględnić środek ciężkości

[janusz47]

Model z środkiem ciężkości

\(\displaystyle{ \alpha = \arctg\left( \frac{2}{\kappa}\right)}\) (połowa miary kąta rozwartego między przekątnymi prostokąta)

\(\displaystyle{ P(r, h) = 1 - \frac{\alpha}{\frac{\pi}{2}} = 1 - \frac{2\alpha}{\pi}= 1 - \frac{2\arctg\left(\frac{2}{\kappa}\right)}{\pi}.}\)

[a4karo]

Szanowni przedpiścy raczyli zapomnieć o dynamice rzutu monety, która ma niebanalny wplyw na wynik

[janusz47]

Dynamikę rzutu, kąt wyrzutu, wysokość wyrzutu nad ziemią, temperaturę powietrza, jego wilgotność, chropowatość powierzchni na którą pada moneta i jeszcze prędkość wiatru i jeszcze ... w modelu rzutu monetą się pomija.

[a4karo]

To znaczy jak wykonujesz losowanie: stawiasz monetę sztorcem albo na płasko w zależności od tego z której strony wieje wiatr?