Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową absolutnie ciągłą (tzn. \(\displaystyle{ P(X \in A)=\int_{A}f(t)dt}\)). Niech \(\displaystyle{ F_{X}}\) oznacza dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Udowodnij, że:
a) \(\displaystyle{ F(X)}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\)
b) Czy założenie o absolutnej ciągłości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jest istotne? Czy wystarczy tylko założyc, że \(\displaystyle{ X}\) jest typ ciągłego?
c) Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwupunktowy \(\displaystyle{ \mu_{X}=\frac{1}{2}\delta_{0}+\frac{1}{2}\delta_{1}}\). Narysuj dystrybuanty zmiennych losowych \(\displaystyle{ F_{X}(X),\ F_{X}(F_{X}(X),\dots}\) i ogólnie zmiennej losowej \(\displaystyle{ F_{X}(F_{X}(\dots(F_{X}(X))\dots))=F_{X}\circ\dots\circF_{X}(X)}\).
Zad2
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ U}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0,1), a funkcja ciągła \(\displaystyle{ H: (-\infty,\infty)\rightarrow(0,1)}\) spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow -\infty}H(x)=0}\), \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow +\infty}H(x)=1}\) i \(\displaystyle{ H}\) jest ściśle rosnąca, to wówczas zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=H^{-1}(U)}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{Y}=H}\).
Znajdź rozkład zminnej losowej: \(\displaystyle{ -ln(U)}\).
Zad3
Wykonujemy \(\displaystyle{ n}\) niezależnych prób. W każdej próbie możliwe są rezultaty \(\displaystyle{ 1,2,\dots,r}\); przy czym przwdopodobienstwo zajścia \(\displaystyle{ j \ (j=1,2,\dots,r)}\) jest równe \(\displaystyle{ p_{j} >0\quad (\sum_{j=1}^{r}p_{j}=1)}\). Niech \(\displaystyle{ N_{j}}\) oznacza, ile razy pojawił się rezultat \(\displaystyle{ j}\).
a) Znajdź rozkład łączny \(\displaystyle{ (N_{1}, N_{2},\dots, N_{r})}\)
b) Oblicz \(\displaystyle{ cov(N_{i},N_{j})}\).
Zad4
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},\dots}\) będą niezaleźnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i o ciągłej dystrybuancie. Powiemy, że w chwili \(\displaystyle{ n \quad (n>0)}\) pojawiła sie rekordowa wartośc, gdy \(\displaystyle{ X_{n}>max(X_{0},\dots,X_{n-1} )}\), gdzie \(\displaystyle{ X_{0}\equiv -\infty}\) (sztuczne techniczne założenie, aby zaliczyc, że z prawdopodobieństwem 1 pierwszy rekord padł w chwili \(\displaystyle{ n=1}\))
a) Niech \(\displaystyle{ N_{n}}\) oznacz liczbę rekordów do chwili \(\displaystyle{ n}\) (wliczając \(\displaystyle{ n}\), jeśli potrzeba). Oblicz \(\displaystyle{ E(N_{n}),\ Var(N_{n})}\).
b)Niech \(\displaystyle{ T \ = \ min\{n:\ n>1, \quad \hbox{w chwili} \ n \ \hbox{wystapil rekord} \}}\) (\(\displaystyle{ T}\) jest momentem drugiego rekordu). Obliczyc \(\displaystyle{ P(T \ > \ n)}\) i pokazac, że \(\displaystyle{ P(T \ < \ \infty)=1}\), lecz \(\displaystyle{ E(T)=\infty}\).
c) Niech \(\displaystyle{ T_{y}}\) oznacza czas pierwszego rekordu wiekszego nizeli \(\displaystyle{ y}\) (tzn. \(\displaystyle{ T_{y} \ = \ min\{n: \ X_{n}>y\}}\)). Pokazac, że zmienne losowe \(\displaystyle{ T_{y}}\) i \(\displaystyle{ X_{T_{y}}}\) są niezależne, tzn. czas pierwszego ekordu wiekszego niżeli \(\displaystyle{ y}\) jest niezależny od tej watości (rekordu).
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu... Trochę mi się spieszy. Dziękuję z góry
!!!!! [ Dodano: 6 Października 2007, 03:27 ]
Zadania 2 już nie trzeba robićbo zrobiłam sama... ale reszta jak najbardziej.... No naprawde proszę o pomoc:)