Prawdopodobieństwo warunkowe, a niezależność zdarzeń

[kwiatek023]

Czy w momencie kiedy zdarzenia są niezależne mogę korzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe? Nie mogę znaleźć konkretnej odpowiedzi, a spotykam się z zadaniami o podobnej treści, które raz liczy się z warunkowego, a raz z prawdopodobieństwa części wspólnej.

[leg14]

Co to znaczy "korzystac ze wzoru na prawdopodobienstwo warunkowe"?
ten "wzor" to jest definicja

[kwiatek023]

Powiedziano nam, że zadania należy rozwiązywać z prawdopodobieństwa warunkowego, gdy w treści zadania wystąpi słowo "jeśli". Jednak jak liczę w ten sposób to wynik niektórych zadań jest błędny. Zauważyłem, że wynik jest błędny, gdy zdarzenia są niezależne i wtedy poprawny wynik wychodzi z prawdopodobieństwa iloczynu. Jest na to jakaś reguła, czy po prostu zależy od polecenia?

[leg14]

Podaj przykład takiego zadania i swoje rozwiązanie - przeanalizujemy co jest nie tak.

Powiedziano nam, że zadania należy rozwiązywać z prawdopodobieństwa warunkowego, gdy w treści zadania wystąpi słowo "jeśli"

Korzystanie z takich porad to autostrada do warunku.

[piasek101]

Nie ucz się, żadnego ,,jeśli".

Podaj konkretny przykład gdzie źle wychodzi - obadamy (niekoniecznie ja).

[edit] Jak widać coś mi się komputer ślimaczy.

[kwiatek023]

W pudełku są cukierki o trzech smakach: marcepanowym, orzechowym i waniliowym w proporcjach 4 : 3 : 2. Spośród cukierków marcepanowych 40% ma polewę z białej czekolady, spośród orzechowych - 30%, a spośród waniliowych - 10%. Oblicz prawdopodobieństwo, że cukierek losowo wyciągnięty z pudełka będzie w polewie z białej czekolady, jeśli nie jest o smaku orzechowym.

Zadanie policzyłem z drzewka. Licząc prawdopodobieństwo części wspólnej ominąłem gałąź z cukierkami orzechowymi i otrzymałem wynik podany w odpowiedziach.

[leg14]

no a pokaż to swoje błędne rozwiązanie oparte na warunkowym

[kwiatek023]

Moje zdarzenie A - wylosowany cukierek będzie w polewie z białej czekolady. Zdarzenie B - cukierek nie jest o smaku orzechowym. Z drzewka prawdopodobieństwo części wspólnej tego zdarzenia wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\), a zdarzenia B \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Końcowy wynik po podzieleniu to 0,3.

[leg14]

A poprawna odpowiedz wynosi?

[kwiatek023]

0,2

[leg14]

No to zła odpowiedź moim zdaniem jest.

[kwiatek023]

Jaka Twoim zdaniem jest poprawna?

[Jan Kraszewski]

Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 0,3}\).

No to zła odpowiedź moim zdaniem jest.

Bo to zła odpowiedź była...

JK

[kwiatek023]

Dziękuję za pomoc

[Presage6]

Tak, to prawda, poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 0,3}\).
O prawdopodobieństwie warunkowym czasami jest dobrze myśleć jak o wyjściowym, tylko, że "obciętym" (mówiąc nieformalnie) do innej przestrzeni zdarzeń elementarnych.
Nawiązując do tego zadania, wyjściowa przestrzeń to:
\(\displaystyle{ \Omega = \{(s,p) : s \in \{m,o,w\} , p \in \{0,1\} \}}\)
s oznacza smak (m-marcepanowy, reszta tak dalej)
p oznacza polewa z bialej czekolady (\(\displaystyle{ 0}\) gdy nie ma, \(\displaystyle{ 1}\) gdy jest)
Prawdopodobieństwo konkretnej pary odczytujemy z polecenia, np:
\(\displaystyle{ P((m,1)) = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{10}}\)
(Gdyż mamy 4/9 "szansy" na smak marcepanowy, a jesli juz mowa o marcepanowym, to 4/10 na to, ze bedzie polewa)

W naszym przypadku coś wiemy. Mianowicie wiemy, że smaku orzechowego na pewno nie wylosowaliśmy. To oznacza, że mozemy rozważyć zadanie tak, jakby orzechowych cukierkow wogóle nie było.
Proporcje marcenaponowych do waniliowych dalej zostaja takie same \(\displaystyle{ 4:2}\), ich "szansa" polewy, rownież.
Nowa przestrzen wyglada tak:
\(\displaystyle{ \Omega_2 = \{(s,p): s \in \{m,w\}, p \in \{0,1\}\}}\)
A pytanie jest o już po prostu (tłumacząc na język tej Omegi) o prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) - następnikiem pary jest \(\displaystyle{ 1}\) (polewa).

Tutaj już liczymy "zwyczajnie"
\(\displaystyle{ P(A) = P((m,1)) + P((w,1)) = \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{10} + \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}}\)
Pierwsza rownosc oczywiscie stad, ze oba zdarzenia po prawej stronie (pierwszej rownosci) są rozłączne. Warto nadmienić, że jak widzisz przy rozważaniu prawdopodobienstwa trafienia na marcepanowy cukierek mianownikiem było \(\displaystyle{ 6}\), ponieważ "zapomnielismy" o orzechowych.