Cześć, bardzo mi zależy na dowodzie twierdzenia o dodawaniu, np. dla rozkładów dwumianowych, czyli
niech \(\displaystyle{ X_{1}, ... , X_{n}}\) to niezależne zmienne losowe, gdzie \(\displaystyle{ X_{i}}\), \(\displaystyle{ i = 1,...,n}\) mają rozkład \(\displaystyle{ B(n_{i},p)}\) oraz niech \(\displaystyle{ Y = \sum_{i=1}^{n}X_{i}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ B ( \sum_{i=1}^{n}n_{i},p)}\).
Z góry dziękuję.
Dowód twierdzenia o dodawaniu
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dowód twierdzenia o dodawaniu
Sposób 1 (w oparciu o funkcję generującą momenty)
\(\displaystyle{ X_{i}\sim \mathcal{B}(n_{i}, p)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{X_{i}}=E[e^{tX_{i}}]=\sum_{x=0}^{n_{i}}{n_{i}\choose x}e^{tx}p^{x}(1-p)^{n_{i}-x}= \sum_{x=0}^{n_{i}}(pe^{t})^{x}(1 -p)^{n_{i}- x} = \\ = (pe^{t}+1-p)^{n_{i}}=(pe^{t}+q)^{n_{i}} \ \ (1)}\)
Z własności funkcji generującej momenty:
\(\displaystyle{ \phi_{Y} = \phi_{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}= E\left [e^{t(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}\right] = \prod_{i=1}^{n}\phi_{X_{i}}(t) \ \ (2)}\)
Z równań (1) i (2):
\(\displaystyle{ \phi_{Y}= \phi_{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}} = (pe^{t} + q) ^{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ Y= X_{1}+ X_{2}+...+X_{n} \sim \mathcal{B} \left( \sum_{i=1}^{n}(n_{i}, p) \right).}\)
Sposób 2 (w oparciu o funkcję splotu)
-- 1 paź 2018, o 13:17 --
Niech
\(\displaystyle{ Y_{2} = X_{1}+ X_{2}}\)
i
\(\displaystyle{ X_{1}\sim \mathcal{B}(n_{1}, p), \ \ X_{2}\sim \mathcal{B}(n_{2}, p ),}\)
korzystając z definicji splotu dwóch rozkładów dyskretnych:
\(\displaystyle{ Pr( \{Y_{2}= y\}) = Pr(\{ X_{1}+X_{2}= y\}) = f_{Y_{2}}(y) = \sum_{x=0}^{y}f_{X_{1}}(x)f_{X_{2}}(y- x).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Y_{2}}(y) = \sum_{x=0}^{y}{n_{1}\choose x} p^{x}(1- p)^{n_{1}- x}{n_{2}\choose y -x}p^{y-x}(1- p )^{n_{2} -(y-x)}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y_{2}}(y)= p^{y}(1- p)^{n_{1} +n_{2}-y}\sum_{x=0}^{y}{n_{1}\choose x}{n_{2}\choose y- x} = {n_{1}+n_{2}\choose y} p^{y}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-y}.}\)
\(\displaystyle{ Y_{2} = X_{1}+X_{2}\sim \mathcal{B}(n_{1}+ n_{2},p).}\)
Stosujemy zasadę indukcji matematycznej ze względu na \(\displaystyle{ n}\) - ilość zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych.
\(\displaystyle{ X_{i}\sim \mathcal{B}(n_{i}, p)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{X_{i}}=E[e^{tX_{i}}]=\sum_{x=0}^{n_{i}}{n_{i}\choose x}e^{tx}p^{x}(1-p)^{n_{i}-x}= \sum_{x=0}^{n_{i}}(pe^{t})^{x}(1 -p)^{n_{i}- x} = \\ = (pe^{t}+1-p)^{n_{i}}=(pe^{t}+q)^{n_{i}} \ \ (1)}\)
Z własności funkcji generującej momenty:
\(\displaystyle{ \phi_{Y} = \phi_{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}= E\left [e^{t(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}\right] = \prod_{i=1}^{n}\phi_{X_{i}}(t) \ \ (2)}\)
Z równań (1) i (2):
\(\displaystyle{ \phi_{Y}= \phi_{X_{1}+X_{2}+...+X_{n}} = (pe^{t} + q) ^{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ Y= X_{1}+ X_{2}+...+X_{n} \sim \mathcal{B} \left( \sum_{i=1}^{n}(n_{i}, p) \right).}\)
Sposób 2 (w oparciu o funkcję splotu)
-- 1 paź 2018, o 13:17 --
Niech
\(\displaystyle{ Y_{2} = X_{1}+ X_{2}}\)
i
\(\displaystyle{ X_{1}\sim \mathcal{B}(n_{1}, p), \ \ X_{2}\sim \mathcal{B}(n_{2}, p ),}\)
korzystając z definicji splotu dwóch rozkładów dyskretnych:
\(\displaystyle{ Pr( \{Y_{2}= y\}) = Pr(\{ X_{1}+X_{2}= y\}) = f_{Y_{2}}(y) = \sum_{x=0}^{y}f_{X_{1}}(x)f_{X_{2}}(y- x).}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f_{Y_{2}}(y) = \sum_{x=0}^{y}{n_{1}\choose x} p^{x}(1- p)^{n_{1}- x}{n_{2}\choose y -x}p^{y-x}(1- p )^{n_{2} -(y-x)}}\)
\(\displaystyle{ f_{Y_{2}}(y)= p^{y}(1- p)^{n_{1} +n_{2}-y}\sum_{x=0}^{y}{n_{1}\choose x}{n_{2}\choose y- x} = {n_{1}+n_{2}\choose y} p^{y}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-y}.}\)
\(\displaystyle{ Y_{2} = X_{1}+X_{2}\sim \mathcal{B}(n_{1}+ n_{2},p).}\)
Stosujemy zasadę indukcji matematycznej ze względu na \(\displaystyle{ n}\) - ilość zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych.
Ostatnio zmieniony 1 paź 2018, o 14:46 przez janusz47, łącznie zmieniany 2 razy.