Udowodnij, że: \(\displaystyle{ P(A \cap B) \le 1-P(A')}\).
Pewnie łatwe, chyba za łatwe, bo czy to ma tak wyglądać?
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\).
A to jest nierówność oczywista?
Dowód nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód nierówności
Prawa strona to \(\displaystyle{ P(A)}\). Więc
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\)
co jest (oczywiste po narysowaniu obrazka) równoważne z
\(\displaystyle{ P(B) \le P(A \cup B)}\)
co też widać po narysowaniu obrazka, ogólnie tak jest bo zawsze \(\displaystyle{ B \subseteq A \cap B}\) więc prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest większe od samego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\)
co jest (oczywiste po narysowaniu obrazka) równoważne z
\(\displaystyle{ P(B) \le P(A \cup B)}\)
co też widać po narysowaniu obrazka, ogólnie tak jest bo zawsze \(\displaystyle{ B \subseteq A \cap B}\) więc prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest większe od samego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ B}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 389
- Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 214 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Dowód nierówności
To czy jest przekonywujący zależy od wymagań stawianych dogłębności dowodu. Jeśli za oczywisty uznamy fakt że dla zbiorów \(\displaystyle{ A_1 \subseteq A_2}\) mam \(\displaystyle{ P(A_1) \le P(A_2)}\) to napisanie \(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\) kończy dowód bo \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq A}\). Tak samo jest z sumą choć wydało mi się to leprze do pokazania bo jeszcze lepiej widać że zawsze \(\displaystyle{ B \subseteq A \cup B}\) a stąd teza.-- 27 wrz 2018, o 09:44 --Jak miałbym to formalizować to napisał bym że dla dwóch dowolnych zbiorów takich że \(\displaystyle{ A_1 \subseteq A_2 \subseteq \Omega}\) mamy \(\displaystyle{ \mu(A_1) \le \mu (A_2)}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) to a ta nierówność jest jej własnością. Dzieląc stromami przez \(\displaystyle{ \mu(\Omega)}\) mamy
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_%28matematyka%29
\(\displaystyle{ \frac{\mu(A_1)}{\mu(\Omega)} \le \frac{\mu(A_1)}{\mu(\Omega)}}\)
a to z definicji prawdopodobieństwa oznacza że \(\displaystyle{ P(A_1) \le P(A_2) \ \ \text{gdy spełnione są początkowe założenia tj.} \ A_1 \subseteq A_2}\)
Co kończy dowód "lematu" i bezpośrednio przekłada się na dowód tezy z Twojego zadania.