Dowód nierówności

[poetaopole]

Udowodnij, że: \(\displaystyle{ P(A \cap B) \le 1-P(A')}\).
Pewnie łatwe, chyba za łatwe, bo czy to ma tak wyglądać?
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\).
A to jest nierówność oczywista?

[Janusz Tracz]

Prawa strona to \(\displaystyle{ P(A)}\). Więc

\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\)

co jest (oczywiste po narysowaniu obrazka) równoważne z

\(\displaystyle{ P(B) \le P(A \cup B)}\)

co też widać po narysowaniu obrazka, ogólnie tak jest bo zawsze \(\displaystyle{ B \subseteq A \cap B}\) więc prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest większe od samego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ B}\)

[poetaopole]

A mój "dowód" byłby przekonywujący? Taki napisany wyżej?

[Janusz Tracz]

To czy jest przekonywujący zależy od wymagań stawianych dogłębności dowodu. Jeśli za oczywisty uznamy fakt że dla zbiorów \(\displaystyle{ A_1 \subseteq A_2}\) mam \(\displaystyle{ P(A_1) \le P(A_2)}\) to napisanie \(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A)}\) kończy dowód bo \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq A}\). Tak samo jest z sumą choć wydało mi się to leprze do pokazania bo jeszcze lepiej widać że zawsze \(\displaystyle{ B \subseteq A \cup B}\) a stąd teza.-- 27 wrz 2018, o 09:44 --Jak miałbym to formalizować to napisał bym że dla dwóch dowolnych zbiorów takich że \(\displaystyle{ A_1 \subseteq A_2 \subseteq \Omega}\) mamy \(\displaystyle{ \mu(A_1) \le \mu (A_2)}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) to

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Miara_%28matematyka%29

a ta nierówność jest jej własnością. Dzieląc stromami przez \(\displaystyle{ \mu(\Omega)}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{\mu(A_1)}{\mu(\Omega)} \le \frac{\mu(A_1)}{\mu(\Omega)}}\)

a to z definicji prawdopodobieństwa oznacza że

\(\displaystyle{ P(A_1) \le P(A_2) \ \ \text{gdy spełnione są początkowe założenia tj.} \ A_1 \subseteq A_2}\)

Co kończy dowód "lematu" i bezpośrednio przekłada się na dowód tezy z Twojego zadania.