Czwarty moment centralny

[crative]

Udowodnić że prawdziwy jest związek:
\(\displaystyle{ \mu _{4}= m _{4}-4m _{1}m _{3}+6m _{1} ^{2}m _{2}-3m _{1} ^{4}}\)

Zacząłem rozpisywać tak:
\(\displaystyle{ \mu _{4}=E\left[ \left( x-m _{1} \right) ^{4} \right]=E\left[ \left( x-m _{1} \right) ^{2} \left( x-m _{1} \right) ^{2} \right]=E\left[ x ^{4}-2m _{1}x ^{2}-4m _{1} ^{3}+4m _{1} ^{2}+m _{1} ^{4} \right]}\)

Ale nie wiem co z tym dalej i czy to wgl jest dobrze??

[Gamma]

A co to są \(\displaystyle{ m_1,m_2,m_3,m_4, \mu_4}\)?

[crative]

\(\displaystyle{ \mu_4}\)- czwarty moment centralny
\(\displaystyle{ m _{1}..., m _{4}}\)- momenty zwykłe

[Gamma]

Źle pomnożyłeś nawiasy, sprawdź jeszcze raz. Później skorzystaj z własności wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ E[aX+b] =aE[X] +b}\),
gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) to stałe.

[janusz47]

Z rozwinięcia:

\(\displaystyle{ \mu_{k} = \sum_{j=0}^{k} {k\choose j}(-1)^{k-j}m_{1}^{k-j}m_{j}, \ \ k=1,2,...,}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ m_{0} =\mu_{0}= 1.}\)