Urna zawiera 10 kul ponumerowanych od 1 do 10. Doświadczenie polegające na losowaniu z urny jednocześnie dwóch kul (po każdym losowaniu wrzucamy kule z powrotem) powtarzamy tak długo, aż otrzymamy taką parę kul, że suma liczb na dwóch wylosowanych kulach będzie mniejsza od 8. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę wykonanych losowań. Proszę obliczyć \(\displaystyle{ P(X \ge E(X))}\) oraz wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=2X-1}\)
Nie mam pojęcia jak w zadaniu takiego typu wyznaczyć wartość oczekiwaną, mógłby ktoś pomóc??
Losowanie kul
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Losowanie kul
Znajdujemy najpierw rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X:}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ X= i \}) = p_{i},...}\) dla \(\displaystyle{ i =3,4,5,6,7}\) (1)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X:}\)
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=3}^{7}i \cdot p_{i}.}\) (2)
Z rozkładu (1) i wyznaczonej wartości średniej (2) wyznaczamy wartość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ Pr(\{ X \geq E(X)\}) = ...}\)
Określamy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 2X- 1:}\)
\(\displaystyle{ Pr( \{Y = k\}) = p_{k},..., \ \ k = 5, 7, 11, 13}\)
Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y:}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \sum_{k\in \{ 5,7,11,13\}}k\cdot p_{k}}\)
i wariancję:
\(\displaystyle{ V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2.}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ X= i \}) = p_{i},...}\) dla \(\displaystyle{ i =3,4,5,6,7}\) (1)
Wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X:}\)
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{i=3}^{7}i \cdot p_{i}.}\) (2)
Z rozkładu (1) i wyznaczonej wartości średniej (2) wyznaczamy wartość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ Pr(\{ X \geq E(X)\}) = ...}\)
Określamy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 2X- 1:}\)
\(\displaystyle{ Pr( \{Y = k\}) = p_{k},..., \ \ k = 5, 7, 11, 13}\)
Obliczamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y:}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \sum_{k\in \{ 5,7,11,13\}}k\cdot p_{k}}\)
i wariancję:
\(\displaystyle{ V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2.}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Losowanie kul
Doświadczenie losowe opisane w zadaniu polega na jednoczesnym losowaniu ze zwracaniem dwóch kul ze zbioru jednakowych kul ponumerowanych liczbami \(\displaystyle{ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}.}\)
Zauważmy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) zlicza ilość takich losowań do otrzymania pierwszego "sukcesu" -wylosowania pary kul, na których suma liczb jest mniejsza od \(\displaystyle{ 8.}\)
Jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ X?}\)
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny \(\displaystyle{ \mathcal{G}(p),}\)
gdzie: parametr \(\displaystyle{ p}\) jest wartością prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na wylosowaniu pary kul na których suma liczb jest mniejsza od liczby \(\displaystyle{ 8.}\)
Jaka jest jest wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p?}\)
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ \Omega = \{<i, j>: \ \ i, j \in\{1,2,...,10 \wedge i \neq j \}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = V_{10}^{2} = 10\cdot 9 = 90.}\)
Jeśli przez \(\displaystyle{ A}\) oznaczymy zdarzenie:
\(\displaystyle{ A = \{ <k, l>: \ \ k,l \in \{1,2,...,10\} \wedge k+l <8 \wedge k\neq l \},}\)
to jego liczebność (moc):
\(\displaystyle{ |A| = 2V_{5}^{1}+ 2V_{3}^{1} +V_{2}^{1} + V_{1}^{1} = 10+ 6+ 2 + 1= 19.}\)
Wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p}\) jest więc równa:
\(\displaystyle{ p = P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{19}{90}}\) (bo wszystkie losowania pary kul są jednakowo możliwe).
Stąd wynika, że mamy rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p = \frac{19}{90}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że za \(\displaystyle{ n}\)-tym razem wylosujemy parę kul, na których suma liczb jest mniejsza od liczby \(\displaystyle{ 8}\) jest równe:
\(\displaystyle{ Pr(\{ X = n\}) = \left(1 - \frac{19}{90}\right)^{n-1}\cdot \frac{19}{90}.}\)
Wartość oczekiwana rozkładu geometrycznego:
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{p}.}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{90}{17} = 5\frac{5}{17}.}\)
\(\displaystyle{ Pr(X \geq E(X)) = Pr \left( X \geq 5\frac{5}{17}\right) = 1 -Pr\left( X < 5\frac{5}{17}\right) \approx 1- 1 + \left(1- \frac{19}{90} \right )^6 = \\ = \left(1 -\frac{19}{90}\right)^6 = ...}\)
Proszę znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 2X - 1}\) i obliczyć jej wartość średnią i wariancję.
Wskazówka
Wariancja rozkładu geometrycznego określona jest wzorem: \(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}.}\)
Zauważmy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) zlicza ilość takich losowań do otrzymania pierwszego "sukcesu" -wylosowania pary kul, na których suma liczb jest mniejsza od \(\displaystyle{ 8.}\)
Jaki rozkład ma zmienna losowa \(\displaystyle{ X?}\)
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny \(\displaystyle{ \mathcal{G}(p),}\)
gdzie: parametr \(\displaystyle{ p}\) jest wartością prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na wylosowaniu pary kul na których suma liczb jest mniejsza od liczby \(\displaystyle{ 8.}\)
Jaka jest jest wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p?}\)
Zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ \Omega = \{<i, j>: \ \ i, j \in\{1,2,...,10 \wedge i \neq j \}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = V_{10}^{2} = 10\cdot 9 = 90.}\)
Jeśli przez \(\displaystyle{ A}\) oznaczymy zdarzenie:
\(\displaystyle{ A = \{ <k, l>: \ \ k,l \in \{1,2,...,10\} \wedge k+l <8 \wedge k\neq l \},}\)
to jego liczebność (moc):
\(\displaystyle{ |A| = 2V_{5}^{1}+ 2V_{3}^{1} +V_{2}^{1} + V_{1}^{1} = 10+ 6+ 2 + 1= 19.}\)
Wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p}\) jest więc równa:
\(\displaystyle{ p = P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{19}{90}}\) (bo wszystkie losowania pary kul są jednakowo możliwe).
Stąd wynika, że mamy rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p = \frac{19}{90}.}\)
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że za \(\displaystyle{ n}\)-tym razem wylosujemy parę kul, na których suma liczb jest mniejsza od liczby \(\displaystyle{ 8}\) jest równe:
\(\displaystyle{ Pr(\{ X = n\}) = \left(1 - \frac{19}{90}\right)^{n-1}\cdot \frac{19}{90}.}\)
Wartość oczekiwana rozkładu geometrycznego:
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{p}.}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ E(X) = \frac{90}{17} = 5\frac{5}{17}.}\)
\(\displaystyle{ Pr(X \geq E(X)) = Pr \left( X \geq 5\frac{5}{17}\right) = 1 -Pr\left( X < 5\frac{5}{17}\right) \approx 1- 1 + \left(1- \frac{19}{90} \right )^6 = \\ = \left(1 -\frac{19}{90}\right)^6 = ...}\)
Proszę znaleźć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = 2X - 1}\) i obliczyć jej wartość średnią i wariancję.
Wskazówka
Wariancja rozkładu geometrycznego określona jest wzorem: \(\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}.}\)