Wyznaczanie stałej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

Wyznaczanie stałej

Post autor: crative »

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) podlega rozkładowi według gęstości prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ f(X)=\begin{cases} 3cx ^{-4} & x \ge c \\ 0 & x < c\end{cases}}\)
Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c}\).

I nie wiem czy dobrze myślę, ale mam obliczyć to tak \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{c}3cx ^{-4}dx}\) i to przyrównać do zera???
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2018, o 20:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Gamma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 13 wrz 2018, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Pomógł: 2 razy

Wyznaczanie stałej

Post autor: Gamma »

Źle. Musisz skorzystać z warunków:
\(\displaystyle{ 1) \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x)\geq 0\\
2) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=1}\)

Pamiętaj też o własnościach całki. Jeżeli \(\displaystyle{ a<b<c}\), to:
\(\displaystyle{ \int_a^c f(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx}\).
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

Wyznaczanie stałej

Post autor: crative »

Ale ta druga całka i tak będzie równa zero więc to pominąłem
Gamma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 13 wrz 2018, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Pomógł: 2 razy

Wyznaczanie stałej

Post autor: Gamma »

No jedna tak, ale w tej, którą zostawiłeś masz źle granice całkowania, masz \(\displaystyle{ x\geq c}\), czyli \(\displaystyle{ x in [c, infty)}\). W tej, która się zeruje miałbyś granice od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ c}\). Po za tym masz przyrównać do jedynki a nie do zera.
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

Re: Wyznaczanie stałej

Post autor: crative »

czyli tak ma to wyglądać czy nadal coś robię źle??
\(\displaystyle{ \int_{c}^{ \infty }3cx ^{-4}dx= 3c \cdot \left( - \frac{1}{3x ^{ \infty } } + \frac{1}{3x ^{c} } \right)= \frac{c}{x ^{c} }}\)
Gamma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 13 wrz 2018, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Pomógł: 2 razy

Wyznaczanie stałej

Post autor: Gamma »

Źle podstawileś granice do całki.
\(\displaystyle{ \int_c^\infty 3cx^{-4}= \left. \left(-\frac{c}{x^3}\right) \right|_c^\infty}\)
I teraz podstawiasz za \(\displaystyle{ x}\), a nie do wykładnika potęgi, bo ten jest stały równy \(\displaystyle{ 3}\). Dalej to co dostaniesz przyrównujesz do jedynki i masz równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ c}\) do rozwiązania.

Oczywiście mój zapis jest bardzo nieformalny. Formalnie tę całkę liczylibyśmy przez granicę (jest to całka niewłaściwa):
\(\displaystyle{ \int_c^\infty f(x) dx=\lim_{A\rightarrow \infty}\int_c^Af(x)dx}\) i tak też rozumiemy wartość w \(\displaystyle{ \infty}\).
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2018, o 17:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieformalny.
ODPOWIEDZ