Rozkład Poissona

[crative]

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) . Dla jakich \(\displaystyle{ \lambda}\) spełniony jest warunek \(\displaystyle{ P\left( 1 \le X \le 3\right) = \frac{5}{3} \lambda e ^{- \lambda}}\)

Nie wiem jak się za to zabrać, bo potrzebował bym chyba dystrybuanty żeby to tak obliczyć \(\displaystyle{ F\left( 3\right) - F\left( 1\right)}\) czy istnieje jakiś inny sposób??

[janusz47]

Tak, potrzebujemy dystrybuanty:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3} \frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda} = \frac{5}{3}\lambda e^{-\lambda}}\)

Rozwiń sumę, uprość otrzymane równanie przez \(\displaystyle{ e^{-\lambda}.}\)

Rozwiąż równanie algebraiczne trzeciego stopnia ze względu na \(\displaystyle{ \lambda.}\)

Przyjmij \(\displaystyle{ \lambda >0.}\)

[Jarek753]

janusz47, gwoli ścisłości to to co podałeś wykorzystuje funkcję rozkładu (gęstość) prawdopodobieństwa, a nie dystrybuantę, mam rację? I to dlatego bierzemy sumę, a nie różnicę wartości.

[janusz47]

Jarek753

Dystrybuanta rozkładu Poissona wyraża się przez:

- funkcję Gamma
lub
- sumę funkcji rozkładu.

Patrz na przykład:

Merran Evans, Nicolas Hastings, Brian Peacock. Statistical Distributions. Third Eddition p. 156.
A. Willey-Intercience Publication 2000.