Mam za zadanie znaleźć rozkład brzegowy koła o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=1}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} x^{2} + y ^{2}=1, &x \in [-1,1], y \in [- \sqrt{1- x^{2}}, \sqrt{1- x^{2} } ] \\ 0, &\mbox{poza} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \int_{- \sqrt{1- x^{2}}}^{\sqrt{1- x^{2}}} x^{2} + y^{2} dy= 2x ^{2} \sqrt{1- x^{2} } + \frac{2}3{} ( \sqrt{1- x^{2} } )^{3}}\)
i nie wiem jak mają wyglądać przedziały drugiej całki
rozkłady brzegowe
-
MartaKarta
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 7 maja 2018, o 17:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 5 razy
rozkłady brzegowe
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2018, o 15:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
rozkłady brzegowe
\(\displaystyle{ R = \sqrt{X^2 +Y^2}}\)
I
Prawdopodobieństwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ \{ (X,Y) \in K\) = \{ X^2 +Y^2 \leq r^2\}}\)
może być zapisane w dwóch wariantach:
\(\displaystyle{ P(\{R < 1)\}) = \int_{0}^{1} 2\pi \lambda r e^{-2\pi r^2 }dr=...}\) ( rozkład Rayleigh'a)
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y) \in K\}) = Pr( \{ X^2 +Y^2 \leq 1\}) = \iint_{(K)}f(x,y) dx dy.}\) (1)
gdzie:
\(\displaystyle{ f(x,y)}\) - gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X, Y).}\)
Ze względu na symetrię możemy zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) zależy tylko od odległości
\(\displaystyle{ f(x,y) = g(r)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 +y^2}.}\)
Przechodząc do współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ ( r, \phi):}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y)\in K\}) = \int_{0}^{\2\pi}d\phi \int_{0}^{r} g(r) dr = 2\pi \int_{0}^{r}g(r)dr}\) (2)
Porównując (2) i (1) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ g(r) = \lambda e^{-\pi \lambda r^2}.}\)
\(\displaystyle{ g(1) = \lambda e^{-\pi \lambda}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \lambda e^{-\pi \lambda (x^2 +y^2)}.}\)
II
Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny w kole jednostkowym, to
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y)\in K \}) = \frac{|K|}{\pi}.}\)
Rozpatrując zmienną losową \(\displaystyle{ R = \sqrt{X^2 +Y^2}}\) zdarzenie \(\displaystyle{ \{ R\leq r\},\ \ 0\leq r \leq 1}\) jest tym samym zdarzeniem, co zdarzenie \(\displaystyle{ \{ (X,Y\in K \} .}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ Pr (\{ R \leq r\}) = \frac{\pi r^2}{\pi} = r^2}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq r \leq 1.}\)
Wprowadzając współrzędne biegunowe i korzystając z definicji rozkładu łącznego:
\(\displaystyle{ Pr(\{R \leq r\}) = \frac{1}{\pi}\iint _{x^2+y^2\leq r^2}dx dy =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho d\rho d\phi = \int_{0}^{r} 2\rho d\rho = r^2.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ P(\{R^2 \leq r \}) = P(\{R \leq \sqrt{r}\}) = r.}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq r \leq 1.}\)
Można teraz obliczyć gęstość jako pochodną dystrybuanty:
\(\displaystyle{ f_{R^2}(r) = \frac{d\sqrt{r}}{dr} = \frac{1}{2\sqrt{r}}, \ \ 0< r \leq 1}\)
Funkcja gęstości tego rozkładu:
\(\displaystyle{ f_{R}(r) = cr \textbf{1}_{r\in [0,1]}.}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}c \cdot r = 1 \rightarrow c = 2.}\)
\(\displaystyle{ f_{R}(r} = 2r \textbf{1}_{r\in[0,1]}}\)
Dokonując zamiany zmiennych:
\(\displaystyle{ f_{R^2}(\rho) = f_{R}(\sqrt{\rho}) \cdot \left| \frac{d\sqrt{\rho}}{d\rho}\right |.}\)
I
Prawdopodobieństwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ \{ (X,Y) \in K\) = \{ X^2 +Y^2 \leq r^2\}}\)
może być zapisane w dwóch wariantach:
\(\displaystyle{ P(\{R < 1)\}) = \int_{0}^{1} 2\pi \lambda r e^{-2\pi r^2 }dr=...}\) ( rozkład Rayleigh'a)
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y) \in K\}) = Pr( \{ X^2 +Y^2 \leq 1\}) = \iint_{(K)}f(x,y) dx dy.}\) (1)
gdzie:
\(\displaystyle{ f(x,y)}\) - gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (X, Y).}\)
Ze względu na symetrię możemy zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) zależy tylko od odległości
\(\displaystyle{ f(x,y) = g(r)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 +y^2}.}\)
Przechodząc do współrzędnych biegunowych \(\displaystyle{ ( r, \phi):}\)
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y)\in K\}) = \int_{0}^{\2\pi}d\phi \int_{0}^{r} g(r) dr = 2\pi \int_{0}^{r}g(r)dr}\) (2)
Porównując (2) i (1) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ g(r) = \lambda e^{-\pi \lambda r^2}.}\)
\(\displaystyle{ g(1) = \lambda e^{-\pi \lambda}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \lambda e^{-\pi \lambda (x^2 +y^2)}.}\)
II
Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład jednostajny w kole jednostkowym, to
\(\displaystyle{ Pr(\{ (X,Y)\in K \}) = \frac{|K|}{\pi}.}\)
Rozpatrując zmienną losową \(\displaystyle{ R = \sqrt{X^2 +Y^2}}\) zdarzenie \(\displaystyle{ \{ R\leq r\},\ \ 0\leq r \leq 1}\) jest tym samym zdarzeniem, co zdarzenie \(\displaystyle{ \{ (X,Y\in K \} .}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ Pr (\{ R \leq r\}) = \frac{\pi r^2}{\pi} = r^2}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq r \leq 1.}\)
Wprowadzając współrzędne biegunowe i korzystając z definicji rozkładu łącznego:
\(\displaystyle{ Pr(\{R \leq r\}) = \frac{1}{\pi}\iint _{x^2+y^2\leq r^2}dx dy =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho d\rho d\phi = \int_{0}^{r} 2\rho d\rho = r^2.}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ P(\{R^2 \leq r \}) = P(\{R \leq \sqrt{r}\}) = r.}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq r \leq 1.}\)
Można teraz obliczyć gęstość jako pochodną dystrybuanty:
\(\displaystyle{ f_{R^2}(r) = \frac{d\sqrt{r}}{dr} = \frac{1}{2\sqrt{r}}, \ \ 0< r \leq 1}\)
Funkcja gęstości tego rozkładu:
\(\displaystyle{ f_{R}(r) = cr \textbf{1}_{r\in [0,1]}.}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}c \cdot r = 1 \rightarrow c = 2.}\)
\(\displaystyle{ f_{R}(r} = 2r \textbf{1}_{r\in[0,1]}}\)
Dokonując zamiany zmiennych:
\(\displaystyle{ f_{R^2}(\rho) = f_{R}(\sqrt{\rho}) \cdot \left| \frac{d\sqrt{\rho}}{d\rho}\right |.}\)