Gęstość zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
matfil24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 wrz 2018, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm

Gęstość zmiennej losowej

Post autor: matfil24 »

prawdopodobienstwo (gestosc) Gestosc zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) dana jest wzorem

\(\displaystyle{ F \left( x \right) = \begin{cases} Ax ^{2} , &x \in \left\langle 0,3 \right\rangle \\ 0 , &x\in \left( - \infty,0 \right) \cup \left( 3, \infty \right) \end{cases}}\)

a) wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ A}\)
b) zmienne losowe \(\displaystyle{ x_1,x_2,...}\) są niezależne i każda z nich ma taki sam rozkład jak \(\displaystyle{ X}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma początkowych \(\displaystyle{ 240}\) zmiennych losowych z tego ciągu przyjmie wartość nie mniejszą niż \(\displaystyle{ 531}\). Mógłby ktoś wytłumaczyć lub odesłać do jakiejś strony, gdzie wyjaśnione jest w prosty sposób to zagadnienie. Policzyłem \(\displaystyle{ A = \frac19}\), ale nie wiem czy to jest dobrze
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2018, o 11:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa TYLKO do wyrażeń matematycznych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Gęstość zmiennej losowej

Post autor: janusz47 »

a)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{0} 0dx + \int_{0}^{3}Ax^2 dx + \int_{3}^{\infty}0dx = 1.}\)

\(\displaystyle{ A\frac{x^3}{3} \mid_{0}^{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ 9A = 1, \ \ A = \frac{1}{9}.}\)

Dobrze!

b)

Korzystamy z Centralnego Twierdzenia Granicznego Lindenberga-Levi:

\(\displaystyle{ Pr \left( \sum_{i=1}^{240}X_{i} \geq 531 \right ) = Pr \left ( \frac{\sum_{i=1}^{240}X_{i} - 240\cdot m}{\sigma \sqrt{240}} \geq \frac{531 - 240\cdot m}{\sigma \sqrt{240}} \right) = 1 - Pr\left( Z < \frac{531 - 240\cdot m}{\sigma \sqrt{240}} \right)\approx \\ \approx 1 - \phi(t) \ \ (1)}\)

Proszę obliczyć dla każdej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i} , i=1,2,...,240}\) jej wartość średnią:

\(\displaystyle{ m = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} x^3 dx =...}\)

oraz odchylenie standardowe:

\(\displaystyle{ \sigma = \sqrt{D^2(X_{i})},}\)

gdzie:

wartość wariancji obliczamy ze wzoru:

\(\displaystyle{ D(X_{i}) = \frac{1}{9} \int_{0}^{3} x^4 dx =...}\)

Podstawić obliczone wartości \(\displaystyle{ m, \ \ \sigma}\) do (1) i odczytać z tablicy dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub za pomocą programu komputerowego na przykład R - wartość przybliżoną dystrybuanty \(\displaystyle{ \phi(t)}\) oraz obliczyć wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ 1 -\phi(t).}\)
matfil24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 wrz 2018, o 09:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm

Gęstość zmiennej losowej

Post autor: matfil24 »

Dziękuję postaram się to przetrawić na spokojnie
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Gęstość zmiennej losowej

Post autor: janusz47 »

Oblicz wartości tych prostych całek na \(\displaystyle{ m, D^2}\) Podstaw do (1).Odczytaj przybliżoną wartość dystrybuanty i odejmując ją od jedynki znajdź szukaną wartość prawdopodobieństwa.
ODPOWIEDZ