prawdopodobieństwo wyniku równania

[MartaKarta]

Z przedziału \(\displaystyle{ \left[ -3,3\right]}\) losujemy liczbę \(\displaystyle{ m}\). Z jakim prawdopodobieństwem równanie
\(\displaystyle{ x^{2} + 2mx+m}\) ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych oraz dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych?

[a4karo]

Jakieś własne próby byłyby mile widziane.

[Janusz Tracz]

To zadanie z prawdopodobieństwa geometrycznego. Całą przestrzenią zdarzań jest przedział o długości \(\displaystyle{ 6}\). A zdarzaniami interesującymi nas są takie wartości \(\displaystyle{ m}\) dla których równanie \(\displaystyle{ x^{2} + 2mx+m=0}\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste. Warunek ten jest równoważny \(\displaystyle{ \Delta >0}\) gdzie \(\displaystyle{ \Delta=4m^2-4m}\). Trzeba teraz policzyć długość przedziału \(\displaystyle{ \left\{ m :4m^2-4m>0 \right\} \cap \left[ -3,3\right]}\) i podzielić przez \(\displaystyle{ 6}\) jako długość całości.

[MartaKarta]

\(\displaystyle{ a) m \in \left[ -3,0\right] \cup \left [1,3\right]}\) w zbiorze liczb rzeczywistych
\(\displaystyle{ b) m \in \left[ -3,0\right) \cup \left (1,3\right]}\) 2 rozwiązania rzeczywiste ?

[Janusz Tracz]

Tak. Tylko długość tych przedziałów i tak się niezmienni niezależnie czy będzie otwarty czy domknięty. Więc prawdopodobieństwo będzie takie samo w a) i b). Długość tych przedziałów to \(\displaystyle{ 5}\) więc szansa na wylosowanie takiego \(\displaystyle{ m}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{6}}\)