Udowodnić implikacje (ciągi zstępujące)

[Euler41]

Udowodnić, że dla zstępujących ciągów zbioru \(\displaystyle{ A_1, A_2,... \in \mathcal{F}}\) prawdziwa jest implikacja:

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } A_n = \emptyset \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P(A_n) = 0}\).


Z twierdzenia o ciągłości, wiemy, że jeżeli \(\displaystyle{ A_n \in \mathcal{F}, n \in \NN}\) jest zstępującym ciągiemzdarzeń losowych, to:

\(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{k=1}^{ \infty } A_k\right) = \lim_{n \to \infty } P(A_n)}\).

Więc:
\(\displaystyle{ \left( \bigcap_{n=1}^{ \infty } A_n = \emptyset \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P(A_n) = 0\right) \Leftrightarrow \bigcap_{n=1}^{ \infty } A_n = \emptyset \Rightarrow P\left( \bigcap_{n=1}^{ \infty} A_n\right) = 0}\)

A zatem pozostaje tylko wykazać, że \(\displaystyle{ P(\emptyset) = 0}\)
Zgodnie z aksjomatem prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ P(\Omega) = 1}\)

Więc:
\(\displaystyle{ 1 = P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \Omega \cap \emptyset = \emptyset}\), to
\(\displaystyle{ P(\Omega \cup \emptyset) = P(\Omega) + P(\emptyset)}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ 1 = 1 + P(\emptyset) \\
P(\emptyset) = 0}\)

Dobrze zrobiłem? Jak zostałbym oceniony na egzaminie? Bardzo mi zależy na tym, aby to rozwiązanie nie tylko "trzymało się kupy", ale było w pełni poprawne.

[janusz47]

Jeżeli chcemy być bardziej dokładni, to najpierw proponuję udowodnić twierdzenie, z którego skorzystałeś w Swoim dowodzie:

" Jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (A_{i})}\) jest nieskończonym ciągiem zstępującym zdarzeń tzn: \(\displaystyle{ A_{1}\subset A_{2}\subset ...}\), to prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ Pr\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right) = \lim_{k\to \infty}Pr(A_{k})."}\)

[Euler41]

Na to mam dowód rozpisany w skrypcie, więc pewnie jest poprawny, pozwolę więc sobie go nie przepisywać.