Prawdopodobieństwo z odcinka

[xtheo]

Witam, byłby ktoś w stanie mi wyjaśnić jak poprawnie rozwiązać takie zadanie i jak to rozwiązanie powinno wyglądać?
Z odcinka \(\displaystyle{ [0;1]}\) losowo wybrano liczbę \(\displaystyle{ x}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) \(\displaystyle{ 0,1<x<0,4}\)
b) \(\displaystyle{ min(x; 0,5)<0.5}\)
Z góry dzięki za pomoc

[kerajs]

To prawdopodobieństwo geometryczne, i jest stosunkiem długości odcinka złozonego z punktów sprzyjających do długości odcinka z punktów możliwych.
a)
\(\displaystyle{ P= \frac{0,4-0,1}{1}= \frac{3}{10}}\)

b)
\(\displaystyle{ P= \frac{0,5-0}{1}= \frac{1}{2}}\)
Jeśli wybierze się dowolną liczbę (punkt o współrzędnej) \(\displaystyle{ x}\) z przedziału od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 0,5}\) to mniejszą będzie \(\displaystyle{ x}\) które spełnia założenie. Natomiast dla x z przedziału od \(\displaystyle{ 0,5}\) do \(\displaystyle{ 1}\), mniejszą będzie \(\displaystyle{ 0,5}\) które nie spełnia założenia

[Janusz Tracz]

To zadanie z prawdopodobieństwa geometrycznego. Rozwiązaniem jest podanie stosunku miary (tu długości) odpowiednich odcinków. Interesuje nas stosunek długości odcinka o zadanych warunkach do długości odcinka \(\displaystyle{ \Omega=\left[ 0,1\right]}\) czyli całej przestrzeni zdarzań.

a) Oznaczmy długość odcinka \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\) jako \(\displaystyle{ \mu\left( \left[ a,b\right] \right)=b-a}\). Wtedy zapiszemy:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(0.1<x<0.4 \right)= \frac{\mu\left( \left[ 0.1,0.4\right] \right)}{\mu\left( \Omega \right)}= \frac{0.4-0.1}{1}=0.3}\)

b) Tu problematyczne może być przełożenie warunku \(\displaystyle{ x\in\left[ 0,1\right] \wedge \min\left\{ x, \frac{1}{2} \right\}< \frac{1}{2}}\) na przedział postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\). Ale wystarczy zauważyć że warunek ten jest spełniony dla każdej liczby \(\displaystyle{ x< \frac{1}{2}}\) bo wtedy \(\displaystyle{ \min\left\{ x, \frac{1}{2} \right\} =x< \frac{1}{2}}\) a dla liczb pozostałych warunek nie jest spełniony. Więc równoważnie z warnikiem mamy \(\displaystyle{ xinleft[ 0, frac{1}{2}
ight)}\)

\(\displaystyle{ mathbb{P}left(minleft{ x, frac{1}{2}
ight}< frac{1}{2}
ight)= frac{muleft( left[ 0, frac{1}{2}
ight)
ight)}{muleft( Omega
ight)} = frac{1}{2}}\)

[xtheo]

Zostając w tym samym temacie...
Poprzednie przykłady zrozumiałem, ale mam aktualnie problem z takim:
Z odcinka \(\displaystyle{ [0;1]}\) losowo wybrano punkt \(\displaystyle{ x}\)
Oblicz
\(\displaystyle{ P(min(x, \frac{1}{4}) < a)}\)

[Janusz Tracz]

Tu mamy jakiś parametr \(\displaystyle{ a}\) i prawdopodobieństwo trzeba wyrazić za pomocą tego parametru uznając go za znany poza tym wszystko po staremu. Rozważmy wyłącznie \(\displaystyle{ a \ge 0}\) bo dla pozostałych warunek \(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)<a}\) nigdy nie jest spełniony przy \(\displaystyle{ x\in\left[ 0,1\right]}\) więc prawdopodobieństwo jest zerowe. Mamy więc jakieś \(\displaystyle{ a \ge 0}\). Narysujmj wykres \(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)}\) określony na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\). Czyli

\(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)= \begin{cases} x \ \ x\in\left[ 0, \frac{1}{4} \right] \\ \frac{1}{4} \ \ x\in \left( \frac{1}{4}, 1 \right] \end{cases}}\)

widać wtedy że dla \(\displaystyle{ a> \frac{1}{4}}\) wszystkie wartości \(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)<a}\) dlatego prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ 1}\) a gdy \(\displaystyle{ a\in\left[ 0, \frac{1}{4} \right]}\) to

\(\displaystyle{ \min\left( x, \frac{1}{4} \right)<a \ \Leftrightarrow \ x\in\left[ 0,a\right]}\)

Czyli prawdopodobieństwo zależy od \(\displaystyle{ a}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(\min\left( x, \frac{1}{4} \right)<a \right)= \begin{cases} 1 \ \text{dla} \ a\in\left( \frac{1}{4}, \infty \right) \\ a \ \text{dla} \ a\in\left[ 0, \frac{1}{4} \right] \\ 0 \ \text{dla} \ a\in\left( - \infty ,0\right) \end{cases}}\)

Trudność w tym zadaniu polegała na znalezieniu i rozpatrzeniu trzech osobnych przypadków. Do tego zadanie trzeba podejść małymi kroczkami by niczego nie pominąć i się nie pogubić próbując zrobić wszystko na raz.