Niech \(\displaystyle{ x \in \Omega}\) i \(\displaystyle{ \delta_x(A) := 1_x(A) = \begin{cases} 1, \text{ gdy } x \in A \\ 0, \text{ gdy } x \notin A \end{cases}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \delta_x}\) jest prawdopodobieństwem na przestrzenie \(\displaystyle{ \left( \Omega, 2^{\Omega}\right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \Omega}\).
Zacząłem sprawdzać aksjomaty i dwa z nich wynikają wprost z definicji funkcji.
1. \(\displaystyle{ \delta_x(A) \ge 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in 2^{\Omega}}\), bo funkcja przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.
2. \(\displaystyle{ \delta_x(\Omega) = 1}\), bo \(\displaystyle{ x \in \Omega}\) z założenia, a to z definicji funkcji oznacza, ze wartość jest równa jeden.
Jednak mam problem z trzecim aksjomatem, nie wydaje mi się on być prawdziwy, a treść zadania wskazuje na to, że raczej jest, więc muszę czegoś nie widzieć.
3. \(\displaystyle{ \delta_x( \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n) = \sum_{n=1}^{ \infty } \delta_x(A_n)}\)
Podczas, gdy \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n \in 2^{\Omega}}\), więc \(\displaystyle{ \emptyset}\) i \(\displaystyle{ \Omega}\) należą do \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n}\)co już daje nam:
\(\displaystyle{ \delta_x(\emptyset \cup \Omega) = \delta_x(\emptyset) + \delta_x(\Omega) = 1+1 = 2}\)
\(\displaystyle{ \delta_x(\emptyset \cup \Omega) = \delta_x(\Omega) = 1}\)
Co daje sprzeczność, której (chyba) być nie powinno. Co zrobiłem źle?
Udowodnić, że funkcja jest prawdopodobieństwem
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Udowodnić, że funkcja jest prawdopodobieństwem
A te zbiory w trzecim warunku nie mają być przypadkiem parami rozlaczne?
Ile wynosi miara zbioru pustego?
Ile wynosi miara zbioru pustego?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Udowodnić, że funkcja jest prawdopodobieństwem
Zdarzenia \(\displaystyle{ A_{i}}\) muszą być parami rozłączne tzn. \(\displaystyle{ A_{i} \cap A_{j}=\emptyset}\) dla \(\displaystyle{ i\neq j.}\)
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1.
\(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{i}A_{i}.}\)
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \delta_x(\bigcup_{i}A_i)= \sum_{i}\delta_x(A_{i}) = 0}\)
bo
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{i})= 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i,}\)
co daje przeliczalną addytywność funkcji \(\displaystyle{ \delta_x.}\)
2.
\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{i}A_{i}.}\)
W tym przypadku, \(\displaystyle{ x}\) należy dokładnie do jednego ze zbiorów \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2},...,}\)
Załóżmy, że jest to zbiór \(\displaystyle{ A_{k}}\)
\(\displaystyle{ \delta_x(\bigcup_i A_{i}) =1}\)
i
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{k}) =1}\)
i
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{i}) = 0,}\) jeśli \(\displaystyle{ i\neq k.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sum_{i}\delta_x(A_{i})= \delta_x(A_{k}) = 1,}\)
co także daje przeliczalną addytywność funkcji \(\displaystyle{ \delta_x.}\)
Największym zbiorem miary \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ \Omega \setminus \{x\}.}\)
Najmniejszym zbiorem miary \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ \{x\}.}\)
Uwaga:
Bardziej powszechne jest oznaczenie \(\displaystyle{ \delta_\omega( A)}\) zamiast \(\displaystyle{ \delta_x(A).}\)
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1.
\(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{i}A_{i}.}\)
W tym przypadku
\(\displaystyle{ \delta_x(\bigcup_{i}A_i)= \sum_{i}\delta_x(A_{i}) = 0}\)
bo
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{i})= 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i,}\)
co daje przeliczalną addytywność funkcji \(\displaystyle{ \delta_x.}\)
2.
\(\displaystyle{ x\in \bigcup_{i}A_{i}.}\)
W tym przypadku, \(\displaystyle{ x}\) należy dokładnie do jednego ze zbiorów \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2},...,}\)
Załóżmy, że jest to zbiór \(\displaystyle{ A_{k}}\)
\(\displaystyle{ \delta_x(\bigcup_i A_{i}) =1}\)
i
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{k}) =1}\)
i
\(\displaystyle{ \delta_x(A_{i}) = 0,}\) jeśli \(\displaystyle{ i\neq k.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \sum_{i}\delta_x(A_{i})= \delta_x(A_{k}) = 1,}\)
co także daje przeliczalną addytywność funkcji \(\displaystyle{ \delta_x.}\)
Największym zbiorem miary \(\displaystyle{ 0}\) jest \(\displaystyle{ \Omega \setminus \{x\}.}\)
Najmniejszym zbiorem miary \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ \{x\}.}\)
Uwaga:
Bardziej powszechne jest oznaczenie \(\displaystyle{ \delta_\omega( A)}\) zamiast \(\displaystyle{ \delta_x(A).}\)