Wartość oczekiwana

[ZaxHunter]

Mam podane:
\(\displaystyle{ X\sim G \left( \frac{2}{7} \right)}\)
Potrzebuję policzyć \(\displaystyle{ E \left( X^2 \right)}\).

Czy to będzie po prostu \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\)?

[janusz47]

Nie.

Drugi moment rozkładu geometrycznego obliczamy z wariancji (znając wzory na jego wariancję i wartość oczekiwaną) lub z jego definicji.

Z wariancji:

\(\displaystyle{ E(X^2) = D^2(X) + [E(X)]^2 = \frac{1-p}{p^2} + \left(\frac{1}{p}\right)^2 =\frac{2-p}{p^2}}\)

\(\displaystyle{ E(X^2) = \frac{2- \frac{2}{7}}{\left(\frac{2}{7}\right)^2}= 21.}\)

Z definicji drugiego momentu rozkładu geometrycznego:

\(\displaystyle{ E(X^2) =\sum_{n=1}^{\infty} n^2 q^{n-1}p}\)

Proszę policzyć sumę tego szeregu.

Wskazówka:

Uwzględnić sumę szeregu pomocniczego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}}\) (1)

Zróżniczkować stronami równanie (1)