Nierówność Czebyszewa i Markowa

[Mirgos]

Witam serdecznie, mam problem z dwoma zadaniami.
1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ p =\frac15}\) i \(\displaystyle{ n=100}\). Korzystając z nierówności Czebyszewa-Bienayme oszacuj prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(|X-20| \ge 5)}\)

2. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^3}{64} _{(0,4).}.}\) Korzystając z nierówności Markowa dla \(\displaystyle{ p = 1,2,3}\) oszacuj \(\displaystyle{ P(|X| \ge 2)}\) Wybierz najlepsze z tych oszacowań. Oblicz \(\displaystyle{ P(|X| \ge 2)}\).
Prosiłbym o wytłumaczenie. Z góry dziękuje za pomoc.

[janusz47]

Zadanie 1

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left ( 100, \frac{1}{5}\right).}\)

\(\displaystyle{ Pr(|X - 20|\geq 5) = 1 - Pr(|X-20|\leq 5) = 1 -Pr( -5 <X-20 < 5) =\\ = 1 - Pr( 15 < X < 25)}\)

\(\displaystyle{ E(X) = n\cdot p = 100\cdot \frac{1}{5} = 20.}\)

\(\displaystyle{ D^2(X) = n\cdot p \cdot (1-p) = 100\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5} =16.}\)

\(\displaystyle{ \epsilon = 25 -20 = 20 - 15 = 5.}\)

Z nierówności) Czebyszewa:

\(\displaystyle{ Pr(|X - E(X)| \geq \epsilon ) \leq \frac{D^2}{\epsilon^2}}\)

\(\displaystyle{ Pr( | X- 20| \geq 5) \leq \frac{16}{25}.}\)

Zadanie 2

\(\displaystyle{ Pr( |X| \geq \epsilon ) \leq \frac{E(X^{p})}{\epsilon^2},\ \ p = 1,2,3.}\)

Przyjmujemy \(\displaystyle{ \epsilon = 2 .}\)

Obliczamy moment rzędu \(\displaystyle{ p}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i szacujemy wartość prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ p =1,2,3.}\)

[Mirgos]

Problem polega na tym, że dla np p=2. Prawa strona nierówności wynosi 2,625 :x

[janusz47]

Pokaż swoje obliczenia momentu rzędu \(\displaystyle{ p.}\)

[Mirgos]

\(\displaystyle{ E|X| = \int_{0}^{4} \frac{ x^{4} }{64}dx = \frac{1024}{320} = 3,2}\) dla p = 1

[janusz47]

\(\displaystyle{ E(X^2) = \int_{0}^{4}\frac{x^6}{64}=...}\)

Po obliczeniu momentu rzędu drugiego, aby oszacować wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P,}\) dzielimy jego wartość przez \(\displaystyle{ \epsilon^2 = 2^2 = 4.}\)

Takie same obliczenia wykonujemy dla \(\displaystyle{ p =1, 3.}\)