Witam serdecznie, mam problem z dwoma zadaniami.
1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ p =\frac15}\) i \(\displaystyle{ n=100}\). Korzystając z nierówności Czebyszewa-Bienayme oszacuj prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(|X-20| \ge 5)}\)
2. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^3}{64} _{(0,4).}.}\) Korzystając z nierówności Markowa dla \(\displaystyle{ p = 1,2,3}\) oszacuj \(\displaystyle{ P(|X| \ge 2)}\) Wybierz najlepsze z tych oszacowań. Oblicz \(\displaystyle{ P(|X| \ge 2)}\).
Prosiłbym o wytłumaczenie. Z góry dziękuje za pomoc.
Nierówność Czebyszewa i Markowa
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 paź 2017, o 15:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świeradów Zdrój
Nierówność Czebyszewa i Markowa
Ostatnio zmieniony 10 wrz 2018, o 20:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Nierówność Czebyszewa i Markowa
Zadanie 1
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left ( 100, \frac{1}{5}\right).}\)
\(\displaystyle{ Pr(|X - 20|\geq 5) = 1 - Pr(|X-20|\leq 5) = 1 -Pr( -5 <X-20 < 5) =\\ = 1 - Pr( 15 < X < 25)}\)
\(\displaystyle{ E(X) = n\cdot p = 100\cdot \frac{1}{5} = 20.}\)
\(\displaystyle{ D^2(X) = n\cdot p \cdot (1-p) = 100\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5} =16.}\)
\(\displaystyle{ \epsilon = 25 -20 = 20 - 15 = 5.}\)
Z nierówności) Czebyszewa:
\(\displaystyle{ Pr(|X - E(X)| \geq \epsilon ) \leq \frac{D^2}{\epsilon^2}}\)
\(\displaystyle{ Pr( | X- 20| \geq 5) \leq \frac{16}{25}.}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ Pr( |X| \geq \epsilon ) \leq \frac{E(X^{p})}{\epsilon^2},\ \ p = 1,2,3.}\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ \epsilon = 2 .}\)
Obliczamy moment rzędu \(\displaystyle{ p}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i szacujemy wartość prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ p =1,2,3.}\)
\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{B}\left ( 100, \frac{1}{5}\right).}\)
\(\displaystyle{ Pr(|X - 20|\geq 5) = 1 - Pr(|X-20|\leq 5) = 1 -Pr( -5 <X-20 < 5) =\\ = 1 - Pr( 15 < X < 25)}\)
\(\displaystyle{ E(X) = n\cdot p = 100\cdot \frac{1}{5} = 20.}\)
\(\displaystyle{ D^2(X) = n\cdot p \cdot (1-p) = 100\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5} =16.}\)
\(\displaystyle{ \epsilon = 25 -20 = 20 - 15 = 5.}\)
Z nierówności) Czebyszewa:
\(\displaystyle{ Pr(|X - E(X)| \geq \epsilon ) \leq \frac{D^2}{\epsilon^2}}\)
\(\displaystyle{ Pr( | X- 20| \geq 5) \leq \frac{16}{25}.}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ Pr( |X| \geq \epsilon ) \leq \frac{E(X^{p})}{\epsilon^2},\ \ p = 1,2,3.}\)
Przyjmujemy \(\displaystyle{ \epsilon = 2 .}\)
Obliczamy moment rzędu \(\displaystyle{ p}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i szacujemy wartość prawdopodobieństwa dla \(\displaystyle{ p =1,2,3.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 paź 2017, o 15:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świeradów Zdrój
Re: Nierówność Czebyszewa i Markowa
Problem polega na tym, że dla np p=2. Prawa strona nierówności wynosi 2,625 :x
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 paź 2017, o 15:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świeradów Zdrój
Re: Nierówność Czebyszewa i Markowa
\(\displaystyle{ E|X| = \int_{0}^{4} \frac{ x^{4} }{64}dx = \frac{1024}{320} = 3,2}\) dla p = 1
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Nierówność Czebyszewa i Markowa
\(\displaystyle{ E(X^2) = \int_{0}^{4}\frac{x^6}{64}=...}\)
Po obliczeniu momentu rzędu drugiego, aby oszacować wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P,}\) dzielimy jego wartość przez \(\displaystyle{ \epsilon^2 = 2^2 = 4.}\)
Takie same obliczenia wykonujemy dla \(\displaystyle{ p =1, 3.}\)
Po obliczeniu momentu rzędu drugiego, aby oszacować wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P,}\) dzielimy jego wartość przez \(\displaystyle{ \epsilon^2 = 2^2 = 4.}\)
Takie same obliczenia wykonujemy dla \(\displaystyle{ p =1, 3.}\)