Zbadać które funkcje są zmiennymi losowymi

[Euler41]

Niech \(\displaystyle{ \Omega = \RR, \mathcal{F} = \left\{ A \subset \RR: (0,1) \in A \text{ lub } (0,1) \in \RR \setminus A \right\}}\), \(\displaystyle{ P}\) dowolne. Zbadać, które z funkcji: \(\displaystyle{ 1_{\left\{ 0,1\right\} }, 1_{(0,1]}, 1_{\left\{ 0,1\right\} } + 1_{(0,1]}}\) są zmiennymi losowymi.

\(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ {\left\{ 0,1\right\}}\), podobnie dopełnienie \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\), więc nie należy do \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) co oznacza, ze nie jest zmienną losową.

\(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \subset (0,1] \in \mathcal{F}}\), więc jest zmienną losową.

\(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \subset (0,1] \cup \left\{ 0,1\right\} \in \mathcal{F}}\), więc jest zmienną losową.

Tak zrobiłem to zadania i dostałem 2 punkty na 10 i niestety nie wiem co zrobiłem nie tak.

[leg14]

Na przykład punkt pierwszy:
Zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\) należy do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\), więc odpowiedź brzmi tak

[Euler41]

Zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\) należy do sigma ciała \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)

Czy mógłbym prosić uzasadnienie tego faktu?

[leg14]

\(\displaystyle{ (0,1) \subset \mathbb{R} \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)

Czy wiesz, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\)
jest dwupunktowy?

[Euler41]

Prawda, głupia pomyłka z mojej strony.

Masz może pomysł gdzie się podziała reszta punktów? Bo czuję przez skórę, że ten jeden przykład nie był warty ośmiu punktów.

[leg14]

Masz może pomysł gdzie się podziała reszta punktów? Bo czuję przez skórę, że ten jeden przykład nie był warty ośmiu punktów.

Za beznadziejny zapis.
Za niezauważenie, że różnica zmiennych losowych jest zmienną losową, więc masz w orzwiązaniu sprzeczność (Trzecia minus druga daje pierwszą).

Za braki w uzasadnieniu we wszystkich podpunktach, a w szczególności w 3.