Obliczenie prawdopodobieństwa, Poisson, "co najwyżej x razy"

[Killaz]

Cześć, mam problem z ostatnim podpunktem w zadaniu o treści:

Cyrk przyjeżdża to miejscowości Y 3 razy w roku.
c) oblicz prawdopodobieństwo, że w tym roku przyjedzie co najmniej 2 razy

Wydaje mi się, że to tw. Poissona, czyli

\(\displaystyle{ \lambda=3}\)
\(\displaystyle{ k=2}\) lub \(\displaystyle{ k=3}\)
\(\displaystyle{ P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) \approx 0,42 + 0,64 \approx 1,06}\)

Czyli prawdopodobieństwo wynosi ponad 1, coś tu mi bardzo nie gra. Prosiłbym o pomoc w prawidłowym rozwiązaniu i wytłumaczenie w czym błąd, dla "odwrotnej" sytuacji, tj. "co najwyżej 2 razy" bez problemu policzyłem, wyszło mi 0,65 (jak ktoś miałby chęć to prosiłbym o potwierdzenie czy wynik jest prawidłowy)

[janusz47]

Lepiej rozkładem Bernoulliego:

\(\displaystyle{ Pr(S_{3}^{\geq 2}) = {3\choose 2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 + {3\choose 3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{0}=...}\)

[Killaz]

Lepiej rozkładem Bernoulliego:

\(\displaystyle{ Pr(S_{3}^{\geq 2}) = {3\choose 2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 + {3\choose 3}\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{0}=...}\)

A mógłbym prosić o wyjaśnienie dlaczego lepiej użyć Bernoulliego niż Poissona?

Mam również problem z obliczeniem prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), do tej pory w zadaniach miałem proste wartości jak \(\displaystyle{ (0,1)}\) które mogłem sczytać z tablicy, nie wiem co zrobić w przypadku wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
Dlaczego prawdopodobieństwo sukcesu wynosi właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)? Użyłem Poissona właśnie z racji braku informacji o prawdopodobieństwie sukcesu.

Czy niepoprawnym byłoby rozwiązanie:

\(\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 2) = 1- P(X=3) + P(X=2) = 1 - 0,64 + 0,42 \approx 0,78}\)

Ok wiem, że jest niepoprawne. Czy w twierdzeniu o p-stwie zdarzenia przeciwnego należy nie tylko zmienić znak, ale również zmienić z \(\displaystyle{ \le na <}\)?

[janusz47]

\(\displaystyle{ p =\frac{1}{3} -}\) cyrk przyjedzie

\(\displaystyle{ q = 1-p = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} -}\) cyrk nie przyjedzie.

Jeśli chcemy to zadanie zdarzeniem przeciwnym to:

\(\displaystyle{ Pr(S_{3}^{\geq 2}) = 1 - Pr(S_{3}^{<2}) = 1 - {3\choose 0} \left(\frac{1}{3}\right)^{0} \left( \frac{2}{3}\right)^3 - {3\choose 1} \left(\frac{1}{3}\right)^{1}\left( \frac{2}{3}\right)^2.}\)

Proszę sprawdzić, że otrzymamy tą samą wartość prawdopodobieństwa.

[Killaz]

Poissonem wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 2) = 1- P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0,05 + 0,2 \approx 0,75}\)

Niestety, nie wiem jak obliczyć to Bernoullim mając za \(\displaystyle{ p = \frac{1}{3}}\) której nie ma na tablicy.

[janusz47]

\(\displaystyle{ Pr(S_{3}^{\geq 2}) = 1 - Pr(S_{3}^{<2}) = 1 - {3\choose 0} \left(\frac{1}{3}\right)^{0} \left( \frac{2}{3}\right)^3 - {3\choose 1} \left(\frac{1}{3}\right)^{1}\left( \frac{2}{3}\right)^2 =\\ =1 - 1 \cdot 1 \cdot \frac{8}{27} - 3 \cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{27} - \frac{4}{9}= \frac{27}{27} - \frac{8}{27}- \frac{12}{27} = \frac{7}{27}.}\)

Przybliżaniem rozkładem Poissona wartości tego prawdopodobieństwa nie radzę, bo \(\displaystyle{ n =3}\) jest wielkością małą i dlatego liczeniem wprost tym rozkładem - otrzymujemy wartość prawdopodobieństwa większą od \(\displaystyle{ 1.}\)

[Killaz]

Czyli Possion dla \(\displaystyle{ n > 30}\)? W takim razie te 0,75 to zupełnie zły wynik? Dziękuję za pomoc w rozwiązaniu, banalne a tego nie zrozumiałem.-- 12 wrz 2018, o 09:48 --

\(\displaystyle{ p =\frac{1}{3} -}\) cyrk przyjedzie

\(\displaystyle{ q = 1-p = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} -}\) cyrk nie przyjedzie.

Mógłbym jeszcze prosić o wytłumaczenie dlaczego to, że cyrk przyjedzie to \(\displaystyle{ p =\frac{1}{3}}\) skoro mamy podane tylko, że przyjeżdża średnio 3 razy w roku? W podpunkcie zaś mamy, że przyjedzie co najmniej dwa razy - czy 2 lub 3 razy na trzy razy, na które przyjeżdża. Jeśli stąd się bierze rozkład prawdpoodobieństwa, to czy nie powinno być, że \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) to "sukces", tj. cyrk przyjedzie?

[janusz47]

Jeśli założymy, że sukces to przyjazd cyrku i odniesiemy nasze obserwacje do roku, to prawdopodobieństwo sukcesu zgodnie z treścią zadania wynosi \(\displaystyle{ p = \frac{1}{3}.}\)

Co najmniej dwa razy przyjedzie w roku to znaczy przyjedzie dwa razy i trzy razy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p.}\)

Możemy to prawdopodobieństwo obliczyć zdarzeniem przeciwnym " jeden minus, że w ogóle nie przyjedzie minus ,że przyjedzie dokładnie jeden raz"

Proszę postudiować rozkład Bernoulliego.

Dużo przykładów i zadań znajdzie Pan na temat tego rozkładu na przykład w podręczniku:

Tadeusza Gesterkorna i Tadeusza Śródki Kombinatoryka i Rachunek Prawdopodobieństwa PWN. Warszawa 1978.