Mocne Prawo Wielkich Liczb

[Mlody Banach]

Niech \(\displaystyle{ X _{n}}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi, dla ktrórych
\(\displaystyle{ P(X _{n}=n+1)=P(X _{n} = -(n+1))= \frac{1}{2(n+1)\ln(n+1)}}\)
\(\displaystyle{ P(X _{n}=0)=1- \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ X _{n}}\) nie spełnia MPWL.

Gdy policzyłem wariancję, wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n+1)}}\). Z twierdzenia Kołmogorowa, aby pokazać, że spełnia MPWL, wystarczy pokazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\mathcal{D} ^{2}X _{n} }{n ^{2} }}\) będzie zbieżny, no i na moje oko to on jest zbieżny. Czy mogę prosić o wytłumaczenie?

[janusz47]

Nie na oko.

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2\ln(n+1)}}\) jest szeregiem zbieżnym na przykład na podstawie kryterium porównawczego z szeregiem harmonicznym rzędu drugiego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},}\) który jest zbieżny.

[Mlody Banach]

No właśnie, to skoro ten jest zbieżny, to \(\displaystyle{ X_{n}}\) powinien spełniać MPWL, a polecenie brzmi: uwodnij, że NIE spełnia. Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[janusz47]

A jak policzyłeś wariancję?

[Mlody Banach]

Zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ \mathcal{D} ^{2}X=\mathcal{E}(X^{2})-(\mathcal{E}X)^{2}}\), przy czym ta druga wartość wynosi 0, a pierwsza, po podniesieniu do kwadratu obie zmienne wyrażają to samo, więc \(\displaystyle{ 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{2(n+1)\ln(n+1)}}\), co po skróceniu dało mi \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln(n+1)}}\)

[janusz47]

Policz jeszcze dokładnie wartość średnią \(\displaystyle{ E(X).}\)

[Mlody Banach]

Robię to tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \cdot \left( n+1 \right) +\frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \cdot \left( - \left( n+1 \right) \right) +0 \cdot \left( 1-\frac{1}{2 \left( n+1 \right) \ln \left( n+1 \right) } \right) =0}\)

[janusz47]

Mógłbyś podać źródło tego zadania.

[Kaf]

Sugestia: \(\displaystyle{ X_n^2}\) nie przyjmuje wartości \(\displaystyle{ n+1}\), tylko \(\displaystyle{ (n+1)^2}\)

[Mlody Banach]

Rzeczywiście, dzięki temu rzeczywiście nie będzie zbieżny. Dziękuję!
P.S. Źródło zadania to podręcznik Wstęp do teorii prawdopodobieństwa autorstwa J.Jakubowskiego i R. Sztencla