Oblicz prawdopodobieństwo - losowanie 2. liczb

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Olivvka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 cze 2018, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz

Oblicz prawdopodobieństwo - losowanie 2. liczb

Post autor: Olivvka »

Witam, jest ktoś w stanie pomóc rozwiązać poniższe zadania i wyjaśnić rozwiązanie?

Wylosowano dwie liczby \(\displaystyle{ x,y}\) z przedziału \(\displaystyle{ (0,2)}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że
\(\displaystyle{ a) y \le x \le 2-y}\)
\(\displaystyle{ b) y \le 2x - x^{2}}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2018, o 13:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Oblicz prawdopodobieństwo - losowanie 2. liczb

Post autor: Janusz Tracz »

To zadanie z prawdopodobieństwa geometrycznego i polega ono na wyznaczeniu stosunku miary (tu pola) zadanego obszaru do miary przestrzeni zdarzeń \(\displaystyle{ \Omega=\left( 0,2\right)^2}\). W podanych podpunktach podane są warunki zadające jakiś podzbiór \(\displaystyle{ \RR^2}\).

a) Pole obszaru \(\displaystyle{ \Omega}\) jest równe \(\displaystyle{ 4}\) co wynika że jest to kwadrat o boku \(\displaystyle{ 2}\). Po narysowaniu warunku \(\displaystyle{ y \le x \le 2-y}\) i wybraniu części wspólnej z \(\displaystyle{ \Omega}\) dostaniesz trójkąt który jak łatwo zauważyć będzie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) całości. Więc i prawdopodobieństwo wylosowania takich liczb będzie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).

b) Tu analogicznie tylko zamiast liczyć pole trójkąta mamy do policzenia pole paraboli w części wspólnej z przestrzenią zdarzań. Użycie całki jest tu bardzo wygodne co pola zwala zapisać że

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( y \le 2x - x^{2}\right) = \frac{ \int_{0}^{2}2x - x^{2} \mbox{d}x }{4}=...}\)

policzenie prostej całki z wielomianu zostawiam jako zadanie.
Olivvka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 9 cze 2018, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 1 raz

Oblicz prawdopodobieństwo - losowanie 2. liczb

Post autor: Olivvka »

W b) prawdopodobieństwo = wynik tej całki? I czemu dzielisz przez 4 - wyjaśnisz wzór z tą całką?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Oblicz prawdopodobieństwo - losowanie 2. liczb

Post autor: Janusz Tracz »

Prawdopodobieństwo z definicji to \(\displaystyle{ P=\frac{\text{miara przestrzeni interesujących nas zdarzeń}}{\text{miara przestrzeni możliwych zdarzeń}}}\) w tym przypadku zbiorem wszystkich zadań jest kwadrat o boku \(\displaystyle{ 2}\) bo każda z dwóch zmiennych należy do \(\displaystyle{ \left( 0,2\right)}\) więc można to utożsamić z losowaniem punktu w kwadracie \(\displaystyle{ 2 \times 2}\). Natomiast warunek \(\displaystyle{ y \le 2x - x^{2}}\) określa jakiś warunek i trzeba znaleźć miarę tego zbioru jaki ów warunek określa. Miarą jest tu pole a pole łatwo liczyć całką. Po naszkicowaniu tej parali widać że interesujący zbiór jest ograniczony wykresem \(\displaystyle{ 2x-x^2}\) i osią \(\displaystyle{ X}\) układu. Co do samej całki to nie wiele jest tu do tłumaczenia po prostu rysunek wszystko wyjaśnia.-- 9 wrz 2018, o 11:34 --dziele przez \(\displaystyle{ 4}\) bo kwadrat \(\displaystyle{ \Omega}\) ma pole \(\displaystyle{ 4}\)
ODPOWIEDZ