rozkład zmiennej losowej

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

rozkład zmiennej losowej

Post autor: crative »

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem:
\(\displaystyle{ F(X)=\begin{cases} a \cdot \cos \left( 2x\right) & 0\le x \le \frac{ \pi }{4} \\0 & w p.p \end{cases}}\)

a) wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ a}\)
b) na podstawie funkcji dystrybuanty proszę wyznaczyć wartość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P\left( X> \frac{1}{2} E\left( X\right)+ \frac{1}{4} \right)}\)

Parametr \(\displaystyle{ a}\) wyznaczyłem i otrzymałem \(\displaystyle{ 2}\), ale nie mam pojęcia jak się zabrać za \(\displaystyle{ b)}\). Mógłby ktoś wyjaśnić jak to policzyć?
Ostatnio zmieniony 30 sie 2018, o 17:53 przez crative, łącznie zmieniany 2 razy.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: rozkład zmiennej losowej

Post autor: janusz47 »

Oblicz wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(X)}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) na podstawie jej dystrybuanty.

Znajdź wartość \(\displaystyle{ y =\frac{1}{2}E(X) +\frac{1}{4}.}\)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X >y\}) = 1 - F(y).}\)
crative
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 172
Rejestracja: 29 wrz 2015, o 16:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 16 razy

Re: rozkład zmiennej losowej

Post autor: crative »

Czyli dystrybuanta wygląda tak??
\(\displaystyle{ F(X)=\begin{cases} \sin \left( 2x\right) & 0\le x \le \frac{ \pi }{4} \\0 & w p.p \end{cases}}\)

I wtedy liczę wartość oczekiwaną tak:
\(\displaystyle{ E\left( X\right) = \int_{0 }^{ \frac{ \pi }{4} }x \cdot sin\left( 2x\right) dx= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}= \frac{3}{8}}\)

Nie wiem co robie źle, ale prawdopodobieństwo według moich obliczeń jest równe \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) a to nie jest dobry wynik. Proszę o jakąś podpowiedź
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: rozkład zmiennej losowej

Post autor: janusz47 »

Źle policzyłeś wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(X).}\)

Źle oznaczyłeś funkcję gęstości.

\(\displaystyle{ F(x),}\) to nie jest funkcja gęstości \(\displaystyle{ f(x)}\) lecz dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X.}\)


\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x f(x)dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2x\cdot \cos(2x)dx.}\)
ODPOWIEDZ