Wartość oczekiwana

[crative]

Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ p \in \left( 0, 1\right)}\). Dla jakiej wartości parametru p spełniony jest warunek \(\displaystyle{ P\left( X \ge 15 | X \ge 11\right)= \frac{16}{81}}\) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=2X-1}\)

Wyznaczyłem wartość \(\displaystyle{ p= \frac{1}{3}}\). Niestety nie wiem jak obliczyć wartosć oczekiwaną i wariancję

[squared]

Trzeba skorzystać z własności.

\(\displaystyle{ \EE(a\xi + b) = a \ \EE\xi + b}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \EE Y=2\EE X-1}\)

\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład geometryczny z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), stąd:
\(\displaystyle{ \EE X = 3}\), a stąd \(\displaystyle{ \EE Y = 6 - 1 = 5}\).

Wariancję podobnie. SKorzystać należy z wariancji:
\(\displaystyle{ D^{2}(a\cdot \xi + b)=a^{2}\cdot D^{2}(\xi)}\)

[crative]

A z tą wariancją co dalej, bo jakoś nie mogę się połapać?

[squared]

Korzystając z podanej własności:

\(\displaystyle{ D^2Y=4D ^2X}\)

[crative]

Ale mam teraz jakos skorzystać z wartości oczekiwanej, czy co mam podstawić pod ta własność. Bo na prawdę nie rozumiem

[squared]

No chyba trzeba policzyć \(\displaystyle{ D^2X}\)...

[crative]

No właśnie tylko nie wiem w jaki sposób

[squared]

Albo korzystasz z definicji wariancji, albo z gotowego wzoru. Mam wrażenie, że totalnie nic nie wiesz na ten temat.

[crative]

Wiem, że jest taki wzór \(\displaystyle{ D ^{2}\left( X\right)=E\left( X ^{2} \right) -\left( E\left( X\right) \right) ^{2}}\)
ale nie wiem jak w tej sytuacji się do niego zastosować

[squared]

Pierwsze zasadnicze pytanie, czy musisz każdorazowo dla znanych rozkładów (a do takich należy ten wyżej) liczyć wariancję/wartość oczekiwaną, czy możesz z gotowych wzorów korzystać?